幾類流體力學(xué)方程的隨機動力學(xué)和大偏差.pdf

1、隨機偏微分方程作為描述受隨機影響的復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型越來越引起數(shù)學(xué)工作者的注意,并且在力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地球物理學(xué)、大氣海洋氣候?qū)W等中得到了廣泛的應(yīng)用.本論文研究幾類流體力學(xué)方程形成的隨機動力系統(tǒng)的漸進行為,同時還研究由大偏差描述的隨機動力系統(tǒng)的小概率事件。全文的安排如下:
　　 第一章簡單回顧了隨機動力系統(tǒng)的一些基本知識和理論,主要包括確定動力系統(tǒng),隨機動力系統(tǒng),全局隨機吸引子,有限Hausdorff維數(shù)和大偏差的定義.進一

2、步,給出了全局隨機吸引子存在性定理1.2.1和定理1.2.2,同時也給出隨機吸引子的Hausdorff維數(shù)是有界不變隨機變量的一個判定定理.最后,我們列出該論文的安排,主要問題和結(jié)果。
　　 第二章研究可加噪聲驅(qū)使的三維隨機Navier-Stokes-Voight方程的漸進行為.確定三維粘彈性Navier-Stokes-Voight方程的正則性和全局吸引子在文獻[55,56]中給出.本章在此基礎(chǔ)上,考慮可加噪聲驅(qū)使的隨機效應(yīng)的影

3、響,通過考慮輔助方程我們將隨機Navier-Stokes-Voight方程轉(zhuǎn)化成帶有隨機系數(shù)的偏微分方程.這樣處理的好處在于由于不出現(xiàn)隨機積分,我們可以按軌道幾乎處處處理問題,從而避免討論依賴初值的方程解的期望.于是由Feado—Galerkin方法我們證得了方程弱解的存在性和唯一性.由一致先驗估計和漸進緊性,我們得到了生成的隨機動力系統(tǒng)存在全局隨機吸引子,并且該吸引子的Hausdorff維數(shù)是有限的。
　　 第三章,我們研究帶

4、有隨機邊界擾動的Boussinesq系統(tǒng)的小概率事件,其用大偏差準則來描述.該系統(tǒng)模擬了氣候?qū)W的各種現(xiàn)象,例如海洋密度電流和熱鹽循環(huán).由于邊界鹽度流通的不確定性[36,39,73],我們考慮邊界隨機效應(yīng)的影響.帶有隨機邊界擾動的隨機拋物偏微分方程的動力學(xué)可以參考文獻[25,26,82,84],由于我們研究的系統(tǒng)耦合了Navier-Stokes方程,處理方法有所不同.通過將隨機邊界條件嵌入一隨機發(fā)展方程中,PBrune,J.Duan和B.

5、Schmalfuss[10]得到了可加噪聲驅(qū)使的帶有隨機邊界擾動的Boussinesq系統(tǒng)存在隨機吸引子.在此基礎(chǔ)上,我們進一步研究乘法噪聲驅(qū)使的隨機邊界擾動的Boussinesq系統(tǒng),由Galerkin逼近,我們得到相應(yīng)系統(tǒng)解的適定性和一系列先驗估計.最后,由弱收斂方法[13]得到大偏差準則,最近該方法還被應(yīng)用于[38,79,82]。
　　 第四章研究不同噪聲驅(qū)使的隨機原始方程.首先,我們研究三維可加噪聲驅(qū)使的隨機原始方程,確

6、定原始方程整體強解的存在性和唯一性在Cao和Titi[16]中被證明,其要求在頂部和底部滿足Neumann邊界條件,接著全局吸引子在[49]中給出,沿著[16]和[49]的研究線路,B.Guo和D.Huang[48]研究了可加噪聲驅(qū)使的三維隨機原始方程的全局適定性和長時動態(tài)行為,得到方程存在隨機吸引子,但該吸引子僅僅滿足弱緊性質(zhì).這里,我們應(yīng)用不同于文獻[48]的先驗估計,Aubin-Lions緊性引理,Riesz引理和一些連續(xù)性結(jié)論,

7、同樣得到強解的全局適定性,并且得到方程存在緊的全局吸引子,進一步,我們得出吸引子具有有限Hausdorff維數(shù).其次,我們研究二維乘法噪聲驅(qū)使的隨機原始方程.忽略鹽度和溫度方程的耦合,二維乘法噪聲驅(qū)使的隨機原始方程的弱解的存在性和唯一性在[47]中被得到.本論文中,我們推廣了[47]的結(jié)果,應(yīng)用不同的且更細致的先驗估計,得到耦合溫度方程的二維乘法噪聲驅(qū)使的隨機原始方程的解的適定性,進一步得到其滿足Wentzell—Freidlin型的大