高階變系數(shù)線性常微分方程的可解性研究.pdf

1、常微分方程的形成和發(fā)展與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)等密切相關(guān),這使數(shù)學(xué)家們深信微分方程在認識自然和改造自然方面的巨大力量。現(xiàn)在,常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用,特別是現(xiàn)代控制論中大量應(yīng)用到變系數(shù)線性微分方程以及變系數(shù)線性微分方程組。這些問題大都可以轉(zhuǎn)化為求常微分方程的解,或者轉(zhuǎn)化為研究常微分方程的解的性質(zhì)問題。應(yīng)該說,常微分方程的理論研究已經(jīng)取得了很大成就,但是,它的現(xiàn)有理論還遠遠不能滿足實際生產(chǎn)的需要,這門學(xué)科還有待于進一步的發(fā)展

2、,使其理論體系更加完善。
　　 對于變系數(shù)線性微分方程,一般來說是不容易求解的,但是經(jīng)過不斷的研究,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一些特殊類型的變系數(shù)線性微分方程是可以通過變量代換等方法轉(zhuǎn)化為可解的微分方程,例如,Euler方程就是常見的一種。目前,在討論變系數(shù)線性微分方程的可解性時采用的變量代換大多是自變量變換或者是未知函數(shù)的線性變換,所得結(jié)論也具有一定的相似性。
　　 本文利用帶導(dǎo)數(shù)的變量代換來研究變系數(shù)線性微分方程的可解性,并得到若干

3、新的可解類型。
　　 首先本文通過帶未知函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的變量代換將三階變系數(shù)線性微分方程降階轉(zhuǎn)化為二階常系數(shù)線形微分方程,從而得到三階變系數(shù)線性微分方程一個新的可解類型。然后利用相同的思路來研究四階、五階變系數(shù)線性微分方程可解性的充分條件,最后總結(jié)其變化規(guī)律得到n階變系數(shù)線性微分方程的一個新的可解類型。
　　 其次本文綜合利用帶未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變量代換、未知函數(shù)的線性變換以及自變量變換將高階變系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)換為低階線性微

4、分方程或者是常系數(shù)線性微分方程等已知的可解類型,從而得到三階、四階變系數(shù)線性微分方程新的可解類型。
　　 最后本文利用帶未知函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的變量代換將三階變系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程,從而得到三階變系數(shù)線性微分方程新的可解類型。并且用同樣的思路來研究四階、五階變系數(shù)線性方程的可解性,最終總結(jié)規(guī)律,得出可以利用特殊的帶未知函數(shù)n-1階導(dǎo)數(shù)的變量代換來處理n階變系數(shù)線性微分方程,從而得到n階變系數(shù)線性微分方程的一個新的可解