Artin環(huán)與QF環(huán)的研究.pdf

1、Artin環(huán)是有限環(huán)和域上有限維代數(shù)的推廣，它是一類(lèi)滿(mǎn)足極小條件的環(huán)，是環(huán)論中一類(lèi)重要而經(jīng)典的環(huán)，與代數(shù)學(xué)的其他分支，如代數(shù)表示論等密切相關(guān).另一方面，Nakayama在1939年討論左、右理想之間對(duì)偶時(shí)引入了QF(quasi-Frobenius)環(huán)，其后，QF環(huán)被證明了等價(jià)于單邊Artin、單邊自?xún)?nèi)射環(huán).由此，這兩類(lèi)環(huán)的研究緊密結(jié)合，而且與環(huán)論中一些著名的猜測(cè)也密切相關(guān)，如:CF猜測(cè)，F(xiàn)GF猜測(cè)以及Faith-Menal猜測(cè)。

2、　　在眾多的關(guān)于Artin環(huán)和QF環(huán)以及這些猜測(cè)的研究中，連續(xù)性，弱連續(xù)性，強(qiáng)C2條件等相關(guān)內(nèi)射性起著十分重要的作用.如Nicholson和Yousif證明了對(duì)右弱連續(xù)環(huán)和強(qiáng)右C2環(huán)，F(xiàn)GF猜測(cè)均成立。
　　為了深入對(duì)強(qiáng)C2環(huán)和強(qiáng)C2模的研究，在本文的第二章，我們引入了n-C2模和n-C2環(huán)的概念，給出了它們的判定準(zhǔn)則，并以此得到強(qiáng)C2模和強(qiáng)C2環(huán)的等價(jià)刻畫(huà):右R-模M是強(qiáng)C2的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)S的任意有限生成真左理想K，rM(K)≠0

3、，其中S=End(MR)是M的自同態(tài)環(huán);R是強(qiáng)右C2環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的投射模PR，及其投射子模QR，均有P/Q是平坦的。
　　第三章考慮了與強(qiáng)C2模對(duì)偶的強(qiáng)D2模，給出了強(qiáng)D2模的一個(gè)刻畫(huà)以及平坦模的一個(gè)零化子刻畫(huà):右R-模MR是強(qiáng)D2的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)S的任意有限生成真右理想K，KM≠M(fèi)，其中S=End(MR)是M的自同態(tài)環(huán);M是平坦的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的正整數(shù)n以及T=Mn(R)的任意元素A，有l(wèi)M(A)=Mn(lT(A)).并且給出了

4、一些強(qiáng)D2模的例子，如右duo環(huán)上所有的循環(huán)右模都是強(qiáng)D2的。
　　第四章圍繞CF猜測(cè)（每個(gè)循環(huán)右模都可以嵌入自由模的環(huán)是右Artin環(huán)），F(xiàn)GF猜測(cè)（每個(gè)有限生成右模都可以嵌入自由模的環(huán)是QF環(huán)）和Faith-Menal猜測(cè)（右Noether左FP內(nèi)射環(huán)都是QF環(huán)）展開(kāi)研究，證明了在右ACS條件下，CF猜測(cè)和FGF猜測(cè)成立，將Gómez Pardo和Guil Asensio的相關(guān)結(jié)果，Nicholson和Yousif的相關(guān)結(jié)果中

5、的CS，弱連續(xù)減弱到ACS.此外，還利用ACS條件，改進(jìn)了Faith-Menal猜測(cè)的相關(guān)結(jié)果.
　　最后，受Malik利用模糊理想刻畫(huà)右Artin環(huán)的啟發(fā)，我們引入了模的模糊同態(tài)和弱模糊同態(tài)，并用它們刻畫(huà)了右Artin環(huán)，右CF環(huán)和QF環(huán):R是右Artin環(huán)等價(jià)于對(duì)任意的f∈WFHom(R, R)，f是有限賦值的;R是右CF環(huán)等價(jià)于對(duì)任意有界的可擴(kuò)張弱模糊同態(tài)f∈WFHom(R，R)，存在F1，…，F(xiàn)n∈FHom(R，R)，使得