項鏈李代數(shù)的結構與性質(zhì).pdf

1、最近,Le Bruyn和Ginzburg分別引入了項鏈李代數(shù)([1],[2]),它是定義在箭圖上的一種無限維李代數(shù),在非交換幾何研究中起了重要作用.目前對項鏈李代數(shù)的結構還沒有太多的研究.該文探討項鏈李代數(shù)的結構及性質(zhì).在1.1節(jié)中,我們定義了箭圖Q的重箭圖Q循環(huán)上的映射σ,用它給出了項鏈李代數(shù)括號運算的一個嚴格定義,并用此定義證明了這是一個李運算.在1.2節(jié)中,我們對項鏈字引入左右指標數(shù)組,利用它們把項鏈李代數(shù)N<,Q>的基分成了A,

2、B,C,D,E5類.我們還討論了由重箭圖自然自同構導出的李代數(shù)的一個自然的對合.在1.3節(jié)中,應用指標數(shù)組我們討論了各類元素的性質(zhì),指出其第A,B,C類元各自張成的子空間均是N<,Q>的子代數(shù),特別是C類中所有長度為2的元素張成了N<,Q>的Abel子代數(shù)H,且含于C生成的子代數(shù)P的中心Z(P)中.在2.1節(jié)中,我們利用H給出了N<,Q>的中心元的一般形式,即對任意x∈Z(N<,Q>),有x=∑<,i>b<,i>ω<,i>十x′,其中b

3、<,i>∈K,ω<,i>∈C,x′∈E<,0>.我們還對只有一個單循環(huán)和一個單循環(huán)及若干單箭頭的箭圖,給出了其項鏈李代數(shù)的某些中心元素的具體形式.在2.2節(jié)中,我們對非平凡圖,即當箭圖中有箭頭時,利用H中的元素證明了N<,Q>不是半單純李代數(shù).當箭圖中有長度大于1的循環(huán),且無圈時,構造了N<,Q>的非可解子代數(shù),從而證明了N<,Q>是不可解李代數(shù).我們還利用指標數(shù)組討論了項鏈字的運算,構造了N<,Q>的可解非冪零子代數(shù),從而證明了當箭圖