4.系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、Chapter4 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性描述當(dāng)系統(tǒng)遭受外界擾動(dòng)偏離原來的平衡狀態(tài)，在擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身能否恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的一種性能。例如在倒立擺裝置中，當(dāng)擺桿受擾動(dòng)而偏離垂直位置后，系統(tǒng)仍能使擺桿回到垂直位置，并能始終保持在垂直位置附近，這是系統(tǒng)穩(wěn)定的基本含義。一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)是不能正常工作的，如何判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及如何改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的首要問題。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身所固有的特性，與外部控

2、制 無關(guān)。所以討論穩(wěn)定性時(shí)一般只考慮 ) (t u的自由系統(tǒng)。 0 ) ( ? t u4.1 平衡點(diǎn)與 Lyapunov 穩(wěn)定性考慮 階自由系統(tǒng)： n ) ), ( ( ) ( t t x f t x ? ?狀態(tài)向量： ，向量： Tn t x t x t x ) ) ( ... ) ( ( ) ( 1 ?Tn t t x f t t x f t t x f ) ) ), ( ( ... ) ), ( ( ( ) ), ( ( 1

3、?對(duì) ，若存在某一狀態(tài)點(diǎn) ，使得對(duì)所有的 ， 都不隨時(shí)間 ) ), ( ( ) ( t t x f t x ? ? e x t ) (t x變化，定義 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)（平衡點(diǎn)） （4-1） e x 0 ) , ( ? ? t x f x e ?一個(gè)系統(tǒng)不一定存在平衡點(diǎn)，但有時(shí)又可以有多個(gè)平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)大多數(shù)在狀態(tài)空間的原點(diǎn) 。若平衡點(diǎn)不在原點(diǎn)，而是狀態(tài)空間的孤立點(diǎn)，則可以通 0 ? e x過坐標(biāo)變換將平衡點(diǎn)移到原點(diǎn)。經(jīng)典控制理論：用傳

4、遞函數(shù)描述線性定常系統(tǒng)，主要用特征函數(shù) 的極點(diǎn)分 0 ) ( ? s D布、Routh（勞斯）判據(jù)、Hurwitz（胡爾維茨）判據(jù)、Nyquist（奈奎斯特）判據(jù)等來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性?，F(xiàn)代控制理論：用狀態(tài)空間描述 MIMO 線性時(shí)變系統(tǒng)或非線性時(shí)變系統(tǒng)。1) 根據(jù)系數(shù)矩陣 的特征值即 系統(tǒng)極 A 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) det( ? ? ? s f s f s f s f A sI O C O C O C CO點(diǎn)的分布來

5、判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 求出的是“既能控又能觀”的極 0 ) ( ? s fCO點(diǎn)，它也可以由傳遞函數(shù)求出； 求出的是“能控不能觀” 、 0 ) ( ? s f O C對(duì)線性定常系統(tǒng)，根據(jù)平衡點(diǎn)定義 ，當(dāng) ，則只有 0 ) ( ) ( ? ? t Ax t x ? 0 det ? A一個(gè)平衡點(diǎn)。當(dāng) ，有多個(gè)平衡點(diǎn)，而 是其中一個(gè)平衡 0 ? e x 0 det ? A 0 ? e x點(diǎn)。平衡點(diǎn)，即 ，則稱平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定（Asympto

6、tically Stable） 。 e t x t x ?? ? ) ( lim e x如果不需根據(jù)初始時(shí)刻 來尋找“半徑” ，則稱一致漸近穩(wěn)定。 0 t ) ( ) , ( 0 ? ? ? ? ? t物理意義：如果系統(tǒng)狀態(tài)開始在平衡點(diǎn) 附近，則系統(tǒng)不會(huì)振蕩，其狀態(tài)軌線最 e x終會(huì)落在平衡點(diǎn) 。 e x只有漸近穩(wěn)定才是工程意義上的穩(wěn)定。但漸近穩(wěn)定仍然是某平衡點(diǎn) 附近的 e x穩(wěn)定（局部穩(wěn)定） ，并不意味著整個(gè)系統(tǒng)就能運(yùn)行。圖 4-3

7、 漸進(jìn)穩(wěn)定（局部穩(wěn)定） 圖 4-4 全局穩(wěn)定 圖 4-5 不穩(wěn)定定義 定義 4-4 4-4 若對(duì)任意初始狀態(tài) ，無需要求系統(tǒng)初始處于平衡點(diǎn) 附近，都有 0 x 0 ? e x，則稱平衡狀態(tài) 是大范圍漸近穩(wěn)定 大范圍漸近穩(wěn)定(全局穩(wěn)定 全局穩(wěn)定)(Asymptotically e t x t x ?? ? ) ( lim 0 ? e xStable in the large)。全局穩(wěn)定的物理意義：無論開始系統(tǒng)狀態(tài)

8、在何處，其狀態(tài)軌線最終會(huì)落在平衡點(diǎn) 。 0 ? e x定義 定義 4-5 4-5（不穩(wěn)定） 對(duì)任意給定的“小距離” ，無論 “半徑” 怎么 0 ? ? 0 ) , ( 0 ? t ? ?小，系統(tǒng)至少有一個(gè)初態(tài) ，當(dāng) ，則有任何 時(shí)候的狀態(tài) 與 0 x ? ? ? e x x0 0 t t ? ) (t x平衡點(diǎn) 的距離大于給定的“小距離” ， ，則稱平衡狀態(tài) 是不穩(wěn) e x ? ? ? ? e x t x ) ( e x定（李氏不穩(wěn)定

9、） 。不穩(wěn)定的幾何意義是：無論系統(tǒng)初始狀態(tài) 如何接近平衡點(diǎn) 0 x，至少有一個(gè) 狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn) ，不會(huì)回到原平衡點(diǎn)或原平衡點(diǎn)附近。 e x ) (t x e x4.1.2 4.1.2 Lyapunov 間接法判別穩(wěn)定性 間接法判別穩(wěn)定性定理 定理 4-1 4-1 狀態(tài)穩(wěn)定性（內(nèi)部穩(wěn)定性）判別定理（間接法） ，通過求解系數(shù)矩陣 通過求解系數(shù)矩陣的 特征值（系統(tǒng)極點(diǎn)）來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性稱為 特征值（系統(tǒng)極點(diǎn)）來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性稱為 L

10、yapunov 間接 間接 A 0 ) det( ? ? A sI法。（1） 是“Lyapunov 臨界穩(wěn)定”的充要條件是 的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 中實(shí)部為 e x A J零的特征值所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊是一維的，且其余特征值均有負(fù)實(shí)部；（2） 是“漸近穩(wěn)定” 的充要條件是 的特征值均有負(fù)實(shí)部； e x e t x t x ?? ? ) ( lim A（3） 是“不穩(wěn)定”的充要條件是 至少有一個(gè)特征值具有正實(shí)部； e x A全局穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡