數(shù)值分析西南交通大學(xué)

1、文檔 111.填空(1). 在等式 中, 系數(shù) ak 與函數(shù) f(x) 無 關(guān)。 （限填“有”或“無” ） ???nkk k n x f a x x x f01 0 ) ( ] , , , [ ?(2). Gauss 型求積公式不是 插值型求積公式。 （限填“是”或“不是” ）或“無” ）(3). 設(shè) lk(x)是關(guān)于互異節(jié)點(diǎn) x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函數(shù)，則 ?0 m=1,2,…,n ??

2、?nkkmk x l x x0) ( ) ((4). ，則4 ，3.6180340 ，5 ； ? ??? ?? ? ? 3 21 1 A ? 1 || || A ? 2 || || A ? ? || || A(5). 用 個(gè)不同節(jié)點(diǎn)作不超過 次的多項(xiàng)式插值，分別采用 Lagrange 插值方法與 Newton 插值方法所得多項(xiàng)式 相 1 n+ n等 (相等, 不相等)。(6). 函數(shù)與函數(shù) 中,是三次樣條函數(shù)的函數(shù)是

3、 g(x)， 33 20, 1 0( ) , 0 1( 1) ,1 2xf x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?33 2 1, 1 0 ( )2 2 1,0 1x x x g xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?另一函數(shù)不是三次樣條函數(shù)的理由是二階導(dǎo)不連續(xù) 。(7). n 個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度一定會(huì)超過 n-1 次2.設(shè) ，要使迭代法 局部收斂到

4、 ，則 取值范圍 ) 5 ( ) ( 2 ? ? ? x x x ? ? ) ( 1 k k x x ? ? ? 5 * ? x ?解：因 ，由 ，即 故 的取值范圍是 。 x x ? ? 2 1 ) ( ? ? ? 1 5 2 1 *) ( ? ? ? ? ? ? x 0 5 2 2 ? ? ? ? ? 051 ? ? ? ?3.給定方程組? ? ???? ? ????? ? ???? ? ???? ? ???? ? ?????111

5、2 1 11 1 11 1 2321xxx證明 Jacobi 方法發(fā)散而 Gauss-Seidel 方法收斂。分析 觀察系數(shù)矩陣的特點(diǎn)，它既不嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，也不對(duì)稱正定，因此應(yīng)該寫出 Gauss-Seidel 方法的迭代矩陣 B，然后再觀察是否 或 或求出 ，看其是否小于 1。而要證 Jacobi 方法發(fā)散，一般情況下只能想法說明其迭 1 1 ? B 1 ? ? B ) (B ?代矩陣的譜半徑不小于 1。證明（1）對(duì) Jacobi 方

6、法，迭代矩陣為? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ???0 21211 0 12121 0B設(shè)其特征值為?，則i B I 25 , 0 , 0 453 , 2 13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故 Jacobi 方法發(fā)散。 1 2 / 5 ) ( ? ? B ?（2）對(duì) Gauss-Seidel 方法，迭代矩陣為文檔 13解 如果 yk 是某方法第 k 步的準(zhǔn)確值， 為其近似值，其絕對(duì)誤差為 ，即

7、。假定第 k 步后的計(jì)算 k y ~k ? k k k y ~ y ? ? ?中不再有舍入誤差，只是由 引起的擾動(dòng) (m>k, )，都有| |<| |，則稱此方法是絕對(duì)穩(wěn)定的 k ? m ? m m m y ~ y ? ? ? m ? k ?設(shè) yk 有一擾動(dòng) ，此時(shí) k ? ?1 ( ) k k k k k y y h y ??? ? ????= k k k ) h 1 ( hy y ? ? ? ? ? ?即 = ，從