《機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)》ppt課件

1、運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的問題： 手在空間的運(yùn)動(dòng)與各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。正問題： 已知關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，求手的運(yùn)動(dòng)。逆問題： 已知手的運(yùn)動(dòng)，求關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。,數(shù)學(xué)模型： 手的運(yùn)動(dòng)→位姿變化→位姿矩陣M 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)→參數(shù)變化→關(guān)節(jié)變量qi，i=1，…，n運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： M=f(qi)， i=1，…，n正問題：已知qi，求M。逆問題：已知M，求qi。,2.1 機(jī)器人的位姿描述

2、2.2 齊次變換及運(yùn)算2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng) 習(xí)題,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示2.1.2 機(jī)器人的坐標(biāo)系,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示　　機(jī)器人的位姿主要是指機(jī)器人手部在空間的位置和姿態(tài)，有時(shí)也會(huì)用到其它各個(gè)活動(dòng)桿件在空間的位置和姿態(tài)。,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示　　位置可以用一個(gè)3×1的位置矩陣來描述。,2.1 機(jī)器人的位姿描

3、述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示　　姿態(tài)可以用坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩夾角的余弦值組成3×3的姿態(tài)矩陣來描述。,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.1 機(jī)器人位姿的表示 例：右圖所示兩坐標(biāo)系的姿態(tài)為：,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.2 機(jī)器人的坐標(biāo)系手部坐標(biāo)系——參考機(jī)器人手部的坐標(biāo)系，也稱機(jī)器人位姿坐標(biāo)系，它表示機(jī)器人手部在指定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)。機(jī)座坐標(biāo)系——參考機(jī)器人機(jī)座的坐標(biāo)系，它是機(jī)器人各活

4、動(dòng)桿件及手部的公共參考坐標(biāo)系。桿件坐標(biāo)系——參考機(jī)器人指定桿件的坐標(biāo)系，它是在機(jī)器人每個(gè)活動(dòng)桿件上固定的坐標(biāo)系，隨桿件的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。絕對(duì)坐標(biāo)系——參考工作現(xiàn)場(chǎng)地面的坐標(biāo)系，它是機(jī)器人所有構(gòu)件的公共參考坐標(biāo)系。,2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.1.2 機(jī)器人的坐標(biāo)系手部坐標(biāo)系{h}機(jī)座坐標(biāo)系{0} 桿件坐標(biāo)系{i} i=1，…，n絕對(duì)坐標(biāo)系{B},2.1 機(jī)器人的位姿描述,2.2.1 直角坐標(biāo)變換2.2.2 齊次

5、坐標(biāo)變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,坐標(biāo)之間的變換關(guān)系：平移變換旋轉(zhuǎn)變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,1、平移變換 設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，若用 矢量表示坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}原點(diǎn)之間的矢量，則坐標(biāo)系{j}就可以看成是由坐標(biāo)系{i}沿矢量 平移變換而來的，所以稱矢量 為平移變換矩陣，它是一個(gè)3×1的矩陣，即：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.

6、1 直角坐標(biāo)變換,1、平移變換 若空間有一點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}中分別用矢量 和 表示，則它們之間有以下關(guān)系：稱上式為坐標(biāo)平移方程。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點(diǎn)重合，但它倆的姿態(tài)不同。則坐標(biāo)系{j}就可以看成是由坐標(biāo)系{i}旋轉(zhuǎn)變換而來的，旋轉(zhuǎn)變換矩陣比較復(fù)雜，最簡(jiǎn)單的是繞一根坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。下面以此來對(duì)旋轉(zhuǎn)變

7、換矩陣作以說明。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角 坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點(diǎn)重合，坐標(biāo)系{j}的坐標(biāo)軸方向相對(duì)于坐標(biāo)系{i}繞軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)θ角。 θ角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時(shí)鐘為正。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角——變換矩陣推導(dǎo) 若空間有一點(diǎn)p，則其在坐標(biāo)系{i}和

8、坐標(biāo)系{j}中的坐標(biāo)分量之間就有以下關(guān)系：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角 若補(bǔ)齊所缺的有些項(xiàng)，再作適當(dāng)變形，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角 將上式寫成矩陣的形式，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換①繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角 再將其寫成矢量形式，則有： 稱上式

9、為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方程，式中： ——p點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}中的坐標(biāo)列陣（矢量）； ——p點(diǎn)在坐標(biāo)系{j}中的坐標(biāo)列陣（矢量）； ——坐標(biāo)系{j}變換到坐標(biāo)系{i}的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，也稱為方向余弦矩陣。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換①繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角 ——旋轉(zhuǎn)變換矩陣，也稱為方向余弦矩陣，是一個(gè)3×3的矩陣，其中的每個(gè)元素就是坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}相應(yīng)坐

10、標(biāo)軸夾角的余弦值，它表明坐標(biāo)系{j}相對(duì)于坐標(biāo)系{i}的姿態(tài)（方向）。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換①繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角 旋轉(zhuǎn)變換矩陣：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換②繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的 旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2、旋轉(zhuǎn)變換③繞y軸旋轉(zhuǎn)β角的 旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換

11、,2、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣 旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣既可以用線性代數(shù)的方法求出，也可以用逆向的坐標(biāo)變換求出。 以繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角為例，其逆向變換即為繞z軸旋轉(zhuǎn)-θ角，則其旋轉(zhuǎn)變換矩陣就為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,,2、旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換矩陣的逆矩陣 比較以下兩式： 結(jié)論：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,3、聯(lián)合變換 設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐

12、標(biāo)系{j}之間存在先平移變換，后旋轉(zhuǎn)變換，則空間任一點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}中的矢量之間就有以下關(guān)系： 稱上式為直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)聯(lián)合變換方程。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,例：已知坐標(biāo)系{B}的初始位置與坐標(biāo)系{A}重合，首 先坐標(biāo)系{B}沿坐標(biāo)系{A}的x軸移動(dòng)12個(gè)單位， 并沿坐標(biāo)系{A}的y

13、軸移動(dòng)6個(gè)單位，再繞坐標(biāo)系 {A}的z軸旋轉(zhuǎn)30°，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換 矩陣。假設(shè)某點(diǎn)在坐標(biāo)系{B}中的矢量為： ，求該點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}中的矢量？,,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,解：由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為： 則：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,3、聯(lián)合變換 若坐

14、標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間是先旋轉(zhuǎn)變換，后平移變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？問題： 當(dāng)坐標(biāo)系之間存在多次變換時(shí)，直角坐標(biāo)變換就無法用同一規(guī)整的表達(dá)式表示了！,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.1 直角坐標(biāo)變換,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,1、齊次坐標(biāo)的定義 空間中任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量用 表示，若有四個(gè)不同時(shí)為零的數(shù)與三個(gè)直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,則

15、稱 是空間該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。,1、齊次坐標(biāo)的定義齊次坐標(biāo)的幾點(diǎn)說明：Ⅰ.空間中的任一點(diǎn)都可用齊次坐標(biāo)表示；Ⅱ.空間中的任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)是單值的，但其對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)是多值的；Ⅲ.k是比例坐標(biāo)，它表示直角坐標(biāo)值與對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)值之間的比例關(guān)系；Ⅳ.若比例坐標(biāo)k=1，則空間任一點(diǎn)(x, y, z)的齊次坐標(biāo)為(x, y, z, 1) ，以后用到齊次坐標(biāo)時(shí)，一律默認(rèn)k=1 。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次

16、坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）,若坐標(biāo)系{j}是{i}先沿矢量平移，再繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角得到的，則空間任一點(diǎn)在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}中的矢量和對(duì)應(yīng)的變換矩陣之間就有 ，寫成矩陣形式則為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）再用坐標(biāo)分量等式表示，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）引入齊次坐標(biāo)，補(bǔ)

17、齊所缺各項(xiàng)，再適當(dāng)變形，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）再將其寫成矩陣形式則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）由此可得聯(lián)合變換的齊次坐標(biāo)方程為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,——齊次坐標(biāo)變換矩陣， 它是一個(gè)4×4的矩陣。,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）①齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義若將齊次

18、坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）①齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義意義： 左上角的3×3矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它描述了姿態(tài)關(guān)系。 右上角的3×1矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關(guān)系。 所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱為位姿矩陣。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,,,2、齊次變換矩

19、陣（D-H矩陣）①齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義齊次變換矩陣的通式為： ——{j}的原點(diǎn)在{i}中的坐標(biāo)分量； ——{j}的x軸對(duì){i}的三個(gè)方向余弦； ——{j}的y軸對(duì){i}的三個(gè)方向余弦； ——{j}的z軸對(duì){i}的三個(gè)方向余弦。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨(dú)

20、的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣 平移變換的齊次矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣 旋轉(zhuǎn)變換的齊次矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）②單獨(dú)的平移或旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換矩陣 同理可得：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩

21、陣的關(guān)系觀察以下三個(gè)齊次變換矩陣的關(guān)系：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系經(jīng)觀察可得：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ③聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系 任何一個(gè)齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個(gè)平移變換矩陣與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變

22、換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ③聯(lián)合變換與單步齊次矩陣的關(guān)系 當(dāng)空間有n個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，若已知相鄰坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，則： 由此可知，建立機(jī)器人的坐標(biāo)系，將機(jī)器人手部在空間的位姿用齊次坐標(biāo)變換矩陣描述出來，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ④相對(duì)變換 坐標(biāo)系之間多步齊次變換

23、矩陣等于每次單獨(dú)變換的齊次變換矩陣的乘積，而相對(duì)變換則決定這些矩陣相乘的順序，其分為左乘和右乘： Ⅰ.若坐標(biāo)系之間的變換是始終相對(duì)于原來的參考坐標(biāo)系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣左乘； Ⅱ.若坐標(biāo)系之間的變換是相對(duì)于當(dāng)前新的坐標(biāo)系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣右乘。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣）④相對(duì)變換 例：已知坐標(biāo)系{B}是繞坐標(biāo)系{A}的zA軸旋轉(zhuǎn)90°

24、，再繞{A}的xA軸旋轉(zhuǎn)90°，最后沿矢量： 平移得到的，求坐標(biāo)系{A}與坐標(biāo)系{B}之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ④相對(duì)變換解：由題意可知滿足左乘原則，即有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ④相對(duì)變換解：若滿足右乘原則，則有：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.

25、2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 已知{i}通過先平移，后旋轉(zhuǎn)變成{j}，則變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換逆變換時(shí)：變換順序顛倒 先平移，后旋轉(zhuǎn)→先旋轉(zhuǎn)，后平移變換參數(shù)取反 旋轉(zhuǎn)（θ） →（ -θ） 平移（px，py，pz） →（-px，-py，-pz）,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換

26、,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 則{j}到{i}的變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 若齊次變換矩陣為： 則：,2.2 齊次變換

27、及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2、齊次變換矩陣（D-H矩陣） ⑤逆變換 若齊次變換矩陣為：,2.2 齊次變換及運(yùn)算,2.2.2 齊次坐標(biāo)變換,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟 1、建立坐標(biāo)系 2、確定參數(shù) 3、相鄰桿件的位姿矩陣 4、建立方程2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,回顧：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的模型： M=f(qi)， i=1

28、，…，n M——機(jī)器人手在空間的位姿 qi——機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,1、建立坐標(biāo)系 ①機(jī)座坐標(biāo)系{0} ②桿件坐標(biāo)系{i} i=1，2，…，n ③手部坐標(biāo)系{h}注意：桿件編號(hào)關(guān)節(jié)編號(hào),2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系①機(jī)座坐標(biāo)系{0}建立原則：z軸垂直， x軸水平，方向指向手部所在平面。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

29、方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系②桿件坐標(biāo)系{i}，i=1，2，…，n 建立原則： z軸與關(guān)節(jié)軸線重合， x軸與兩關(guān)節(jié)軸線的距離重合，方向指向下一個(gè)桿件。桿件坐標(biāo)系有兩種： 第一種： z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合 第二種： z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系②桿件坐標(biāo)系{i}第一種坐標(biāo)系： z軸與i+1關(guān)節(jié)軸

30、線重合。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系②桿件坐標(biāo)系{i}第二種坐標(biāo)系： z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系③手部坐標(biāo)系{h} 在第一種桿件坐標(biāo)系下，{h}與末端桿件坐標(biāo)系{n}重合。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,1、建立坐標(biāo)系③手部坐標(biāo)系{h} 在第二種桿件坐標(biāo)系下，{h

31、}建立在手部中心，方向與末端桿件坐標(biāo)系{n}保持一致。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2、確定參數(shù)①桿件幾何參數(shù)（不變）I、桿件長(zhǎng)度li：——兩關(guān)節(jié)軸線的距離。II、桿件扭角αi：——兩關(guān)節(jié)軸線的夾角。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2、確定參數(shù)②關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)I、關(guān)節(jié)平移量di：——相鄰桿件的長(zhǎng)度在關(guān)節(jié)軸線上的距離。II、關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)量θi：——相鄰桿件的長(zhǎng)度在

32、關(guān)節(jié)軸線上的夾角。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2、確定參數(shù)②關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)關(guān)節(jié)變量： di——平移關(guān)節(jié)； θi——回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系 建立坐標(biāo)系{i-1}、{i}。試分析{i-1}→{i}的變換過程!,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一

33、種坐標(biāo)系I、{i-1}→{i}變換過程a、Trans（0，0，di）；b、Rot（z，θi）；c、Trans（li，0，0）；d、Rot（x，αi）。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,a、Trans（0，0，di）,b、Rot（z，θi）,,,3、相鄰桿件位姿矩陣①第

34、一種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,c、Trans（li，0，0）,,d、Rot（x，αi）,,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,

35、3、相鄰桿件位姿矩陣①第一種坐標(biāo)系注意：特例?。?！,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系 建立坐標(biāo)系{i-1}、{i}。 試分析{i-1}→{i}的變換過程！,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系I、{i-1}→{i}變換過程a、Trans（li-1，0，0）；b、Rot（x，αi-1）；

36、c、Trans（0，0，di）；d、Rot（z，θi）。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,a、Trans（li-1，0，0）,b、Rot（x，αi-1）,,,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系 II、單步齊次變換矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)

37、方程建立步驟,c、Trans（0，0，di）,,d、Rot（z，θi）,,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,3、相鄰桿件位姿矩陣②第二種坐標(biāo)系 III、相鄰桿件的位姿矩陣,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,4、建立方程,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,例：已知三自由度平面關(guān)

38、節(jié)機(jī)器人如圖所示。 設(shè)機(jī)器人桿件1、2、3的長(zhǎng)度為l1，l2，l3。試建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（1）建立坐標(biāo)系(第一種) a、機(jī)座坐標(biāo)系｛0｝ b、桿件坐標(biāo)系｛i｝ c、手部坐標(biāo)系｛h｝ （與末端桿件坐 標(biāo)系｛n｝重合）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第

39、一種）di——相鄰坐標(biāo)系x軸之間的距離；θi——相鄰坐標(biāo)系x軸之間的夾角；li——相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的距離；αi——相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的夾角。注意：根據(jù)方向確定參數(shù)的正負(fù)！,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）

40、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第一種）將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第一種）若用矩陣形式表示，則為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（

41、第一種）若用方程組形式表示，則為：,,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（1）建立坐標(biāo)系(第二種) a、機(jī)座坐標(biāo)系｛0｝ b、桿件坐標(biāo)系｛i｝ c、手部坐標(biāo)系｛h｝ （與末端桿件坐 標(biāo)系｛n｝方向 一致）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（2）確定參數(shù)（第

42、二種）li-1——相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的距離；αi-1——相鄰坐標(biāo)系z(mì)軸之間的夾角；di——相鄰坐標(biāo)系x軸之間的距離；θi——相鄰坐標(biāo)系x軸之間的夾角。注意：根據(jù)方向確定參數(shù)的正負(fù)！,解：（2）確定參數(shù)(第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方

43、程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（3）相鄰桿件位姿矩陣（第二種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種）將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種）若用矩陣形式表示，則為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3

44、.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,解：（4）建立方程（第二種）若用方程組形式表示，則為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立步驟,回顧：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的模型： M0h=f(qi)， i=1，…，n正問題：已知關(guān)節(jié)變量qi的值，求手在空間的位姿M0h。逆問題：已知手在空間的位姿M0h，求關(guān)節(jié)變量qi的值。,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,1、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解

45、 正問題：已知關(guān)節(jié)變量qi的值， 求手在空間的位姿M0h。 正解特征：唯一性。 用處：檢驗(yàn)、校準(zhǔn)機(jī)器人。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解逆問題：已知手在空間的位姿M0h，求關(guān)節(jié)變量qi的值。逆解特征分三種情況：多解、唯一解、無解。多解的選擇原則：最接近原則。計(jì)算方法：遞推逆變換法，即,2

46、.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,例：已知四軸平面關(guān)節(jié)SCARA機(jī)器人如圖所示。試計(jì)算：（1）機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；（2）當(dāng)關(guān)節(jié)變量取qi=[30°，-60°，－120，90°]T時(shí)，機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)；（3）機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程a、建立坐標(biāo)系（第一種） 機(jī)座坐標(biāo)系｛0｝

47、 桿件坐標(biāo)系｛i｝ 手部坐標(biāo)系｛h｝,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程b、確定參數(shù)（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解

48、,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 c、相鄰桿件位姿矩陣（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（1）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程d、建立方程（第一種）,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（2）已知qi=[30°，-60°，－120，90°]T，

49、 代入（1）中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，則得：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，用通式表示為：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式 聯(lián)立方程：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式由上面（a）、（b）兩式可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2

50、 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式由上面（c）、（d）兩式平方再相加可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式由上面（c）、（d）兩式展開可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式由上面兩式可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式由上面兩式可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2

51、.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式已知θ1，θ2可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式最后由（e)式可得 ：,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,解：（3）逆解數(shù)學(xué)表達(dá)式,2.3 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,2.3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解,2.4.1 微分變換2.4.2 雅可比矩陣,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),設(shè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)鏈中某一桿件相對(duì)于機(jī)座坐標(biāo)系的位姿為

52、 ，經(jīng)過微運(yùn)動(dòng)后該桿件的位姿變?yōu)?，若位姿是某個(gè)變量q的函數(shù)，則： 若位姿是若干個(gè)變量的函數(shù)，則：,2.4.1 微分變換,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),例：已知一個(gè)2自由度機(jī)器人及其坐標(biāo)系如圖所示。若因桿件1下關(guān)節(jié)軸承裝配或制造不當(dāng)，使桿件1沿關(guān)節(jié)軸線有0.05單位的偏差，又由于兩桿件的執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)不準(zhǔn)確，旋轉(zhuǎn)執(zhí)行器使桿件1多轉(zhuǎn)一個(gè)0.01rad的偏差角，移動(dòng)執(zhí)行器使桿件2移

53、動(dòng)了一個(gè)0.1單位的偏差距離。若桿件1的長(zhǎng)度l1=5單位，試求當(dāng)機(jī)器人關(guān)節(jié)變量取 θ1=90°，d2=10單位時(shí)，機(jī)器人手部位姿的偏差。,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,由圖示坐標(biāo)系可得機(jī)器人手部的位姿為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,由已知條件可得：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,由已知條件可得：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,機(jī)器人手部位姿的偏

54、差為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分平移變換矩陣：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣： 繞三根坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的微分變換矩陣分別為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣： 繞三根坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的微分變換矩陣分別為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,1、微分變換矩

55、陣微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣： 繞三根坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的微分變換矩陣分別為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣： 上述三個(gè)微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣按任意順序相乘，只要略去高階微量，其結(jié)果均為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,1、微分變換矩陣綜上所述，微分變換矩陣即為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,2、兩坐標(biāo)系間微分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

56、 設(shè)任意兩個(gè)坐標(biāo)系{i}和{j} 之間的變換關(guān)系為Mij。若相對(duì)于坐標(biāo)系{i}進(jìn)行的微運(yùn)動(dòng)用微分變換矩陣△i表示，相對(duì)于坐標(biāo)系{j}用△j表示，即：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,2、兩坐標(biāo)系間微分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系同理可得：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.1 微分變換,當(dāng)所有關(guān)節(jié)均有微分運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們?cè)跈C(jī)器人坐標(biāo)系{n}中引起的總微分變換矩陣則為：,2.4.2 雅可比矩陣,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),若將微分變換矩陣用

57、微分運(yùn)動(dòng)矢量來表示，則上式就變化為：,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.2 雅可比矩陣,若令Jn為：,則稱Jn為機(jī)器人的雅克比矩陣，它反映了機(jī)器人手部坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)與各關(guān)節(jié)微分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，不同坐標(biāo)系之間可以有不同的雅克比矩陣。,2.4 機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng),2.4.2 雅可比矩陣,雅可比矩陣構(gòu)造的具體步驟為：,a.計(jì)算機(jī)器人相鄰桿件的位姿矩陣； b.計(jì)算機(jī)器人各桿件相對(duì)于末端桿件的位姿矩陣： c.計(jì)算的