3.5.2簡單線性規(guī)劃詳解

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)5(必修),第三章 不等式,2024年3月25日,,書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無 崖 苦 作 舟,少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來 徒 傷 悲,成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話,天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！,天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！,3.5二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃,3.5.2 簡單線性規(guī)劃（二課時）,勤勞的孩子展望

2、未來, 但懶惰的孩子享受現(xiàn)在!!!,什 么 也 不 問 的 人 什 么 也 學(xué) 不 到 !!!,懷 天 下 ， 求 真 知 ， 學(xué) 做 人,一、復(fù)習(xí)引入,在生產(chǎn)與營銷活動中，我們常常需要考慮：怎樣利用現(xiàn)有資源（人力、物力、財力……），取得最大的收益。或者，怎樣以最少的資源投入去完成一項(xiàng)給定的任

3、務(wù)。我們把這一類問題稱為“最優(yōu)化”問題。此類問題構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)的一個重要分支—數(shù)學(xué)規(guī)劃，而線性規(guī)劃(Linear Programming 簡記LP)則是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個重要分支。自從1947年G. B. Dantzig 提出求解線性規(guī)劃的單純形方法以來，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實(shí)用中日益廣泛與深入。特別是在計算機(jī)能處理成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛了，已成為現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一。,

4、二、提出問題,今天，我們通過實(shí)例來說明線性規(guī)劃的有關(guān)問題及其求解方法。,三、概念形成,引例： 某工廠計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品需要兩種原料。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1工時需要A種原料3kg，B種原料1kg；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1工時需要A種原料2kg，B種原料2kg。現(xiàn)有A種原料1200kg，B種原料800kg。如果生產(chǎn)甲產(chǎn)品每工時的平均利潤是30元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每工時的平均利潤是40元，問甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少工時能使利潤總額最大？最大利潤

5、是多少？,三、概念形成,解：依題意可列下表：,,產(chǎn)品,原料,利潤,原料限量,A,B,甲,乙,3,2,1,2,1200,800,30,40,設(shè)計劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時。,三、概念形成,設(shè)計劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時。,則x，y滿足,利潤總額為,轉(zhuǎn)化為：在x，y滿足條件（1）的情況下，求L的最大值。,三、概念形成,如何求解這個LP問題呢？,S1：先畫出不等式組（1）表示的平面區(qū)域,,三、概念形成,如何求解這個

6、LP問題呢？,S2：明確L的幾何意義，利用L的幾何意義解題,,,令L=0,三、概念形成,如何求解這個LP問題呢？,S3：找到區(qū)域內(nèi)滿足條件使得L取得最值的點(diǎn)，求出其坐標(biāo),,,,解方程組：,B,三、概念形成,如何求解這個LP問題呢？,S4：將坐標(biāo)帶入（2）得L的最大值,,,,帶入,B,S5：作答,答：用200工時生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得最大利潤18000元,三、概念形成,已知x，y滿足,求二元函數(shù)

7、 的最大值。,上述問題中，我們把求最大值或最小值的函數(shù),約束條件,叫做目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)中變量所要滿足的不等式組（1）稱為約束條件。,目標(biāo)函數(shù),三、概念形成,已知x，y滿足,求二元函數(shù) 的最大值。,如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則稱為線性目標(biāo)函數(shù)。,線性約束條件,如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式（或等式），則稱為線性約束條件。,線性目標(biāo)

8、函數(shù),三、概念形成,已知x，y滿足,求二元函數(shù) 的最大值。,在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題。,(Linear Programming 簡記LP),三、概念形成,滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解。,由所有可行解組成的集合叫做可行域。,使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。,可行解 ：,可行域 ：,最優(yōu)解 ：,,,,B

9、（200，300）,可行域,最優(yōu)解,例１.解下列線性規(guī)劃問題,四、應(yīng)用舉例,（1）求 的最大值，式中x，y滿足約束條件：,（2）求 的最大值與最小值，式中x，y滿足約束條件：,四、應(yīng)用舉例,例2.解下列線性規(guī)劃問題,（1）求 的最大值，式中x，y滿足約束條件：,四、應(yīng)用舉例,總結(jié)： 從以上問題的求解過程可以看出，最優(yōu)解一般在可行域的邊界上，而且通常在可行域的頂點(diǎn)處取得。,

10、四、應(yīng)用舉例,解線性規(guī)劃問題的一般步驟：,第一步：根據(jù)線性約束條件在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）；,第二步：設(shè)z=0,畫出直線l0；,第三步：觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解；,第四步：最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。,例3.下表給出甲、乙、丙三種食物中的維生素A，B的含量及單價：,,四、應(yīng)用舉例,營養(yǎng)師想購買這三種食物共10千克，使得它們所含的維生素A不少于4400單位，維生素B不少于4800

11、單位，而且要使付出的金額最低，這三種食物應(yīng)各買多少千克？,四、應(yīng)用舉例,線性規(guī)劃應(yīng)用題一般步驟：,S1：讀懂題意，根據(jù)所給數(shù)據(jù)填寫井字表格。,,,,,,產(chǎn)品,資源,資源限量,效益,甲 乙 丙,維生素A,維生素B,4400,4800,7 6 5,四、應(yīng)用舉例,線性規(guī)劃應(yīng)用題一般步驟：,S2：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)井字表格寫出目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件。,解：設(shè)購買甲種食物x千克，乙種食物y千克，則購買丙種食物是10-x

12、-y千克。,依題意得目標(biāo)函數(shù),四、應(yīng)用舉例,線性規(guī)劃應(yīng)用題一般步驟：,S2：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)井字表格寫出目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件。,x，y滿足的約束條件為：,四、應(yīng)用舉例,線性規(guī)劃應(yīng)用題一般步驟：,S3：解這個線性規(guī)劃問題。,x，y滿足的約束條件為：,依題意得目標(biāo)函數(shù),化簡得：目標(biāo)函數(shù),約束條件,解答過程請同學(xué)們自己完成,四、應(yīng)用舉例,線性規(guī)劃應(yīng)用題一般步驟：,S4：作答。,五、課堂練習(xí),1.某貨運(yùn)公司擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，一個大集

13、裝箱能夠裝所托運(yùn)貨物的總體積不能超過24m3，總重量不能低于650千克，甲、乙兩種貨物每袋的體積、重量和可獲得的利潤，列表如下：,問：在一個大集裝箱內(nèi)，這兩種貨物各裝多少袋（不一定是整袋）時，可獲得最大利潤？,五、課堂練習(xí),2.A、B兩個居民小區(qū)的居委會組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用雙修日去市郊的敬老院參加愛心活動，兩個小區(qū)都有學(xué)生參加。已知A區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)；B區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)

14、。如果要求B區(qū)參與活動的同學(xué)比A區(qū)的同學(xué)多，且去敬老院的往返總車費(fèi)不超過37元。怎樣安排去A，B兩區(qū)參與活動同學(xué)的人數(shù)，才能使得受到服務(wù)的老人最多？受到服務(wù)的老人最多是多少？,整點(diǎn)問題,五、課堂練習(xí),課本第94頁，練習(xí)A，2，3，4,1.課本第95頁：思考與討論。,六、課堂總結(jié),Ⅰ．理解線性規(guī)劃問題的一些基本概念,Ⅱ．掌握解線性規(guī)劃問題及應(yīng)用題的基本思路即步驟（明確井字格方法解應(yīng)用題）,七、布置作業(yè),課本第96頁，習(xí)題3-5A，5，6