哈工大航天學(xué)院課程-空間飛行器動(dòng)力學(xué)與控制-第4課-空間飛行器軌道動(dòng)力學(xué)中

1、一、二體問(wèn)題 二、中心引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),第四課 空間飛行器軌道動(dòng)力學(xué)（中）,空間有無(wú)數(shù)個(gè)天體，它們之間都有引力作用，如果精確地分析就需要都考慮，但是為了使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，僅需考慮主要的引力作用，將其轉(zhuǎn)化成二體問(wèn)題，其他天體作用看作攝動(dòng)。 二體問(wèn)題: 只考慮一個(gè)小質(zhì)量天體和大質(zhì)量天體兩天體之間的引力，而忽略較遠(yuǎn)離的天體的引力作用。如人造地球衛(wèi)星，只考慮衛(wèi)星和地球的引力作用下的運(yùn)動(dòng)。,一、二體問(wèn)題,圖4.1

2、二體問(wèn)題示意圖,對(duì)于圖示二體問(wèn)題，在地心赤道慣性坐標(biāo)系 中，設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為 ， ；向徑分別為 ， ， ， ；質(zhì)點(diǎn)上的萬(wàn)有引力分別為 ， 。,,航天器在近地軌道運(yùn)行時(shí)忽略月球和其他星體的引力作用時(shí)可以按二體問(wèn)題處理。  二體問(wèn)題軌道運(yùn)動(dòng)基本方程,圖4.1 二體問(wèn)題示意圖,根據(jù)質(zhì)心定理 (4.1) 及

3、 (4.2),(4.3) (4.4),聯(lián)立方程(4.1)及(4.2)可得,圖4.1 二體問(wèn)題示意圖,(4.5),在m1引力作用下的航天器m2的運(yùn)動(dòng) (4.6),在航天器m2引力作用下的質(zhì)點(diǎn) m1 的運(yùn)動(dòng),(4.7),對(duì)于二體問(wèn)題，作用在m1和m2 上的力只有萬(wàn)有引力，它們大小相等方向相反，即,將方程(4.3)和(4.4)帶

4、入方程(4.5)和(4.6)，再利用(4.7)，可得,(4.8),(4.9),由方程(4.8)可得,方程(4.8)只有在 或 時(shí)才能成立。,結(jié)論： 兩體運(yùn)動(dòng)中，系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度為常量，不做加速運(yùn)動(dòng)。 或者說(shuō)，慣性空間兩體相互作用的結(jié)果，其系統(tǒng)質(zhì)心速度保持不變，要么等速直線運(yùn)動(dòng)，要么靜止不動(dòng)。,,,令 ，可以得到二體運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)

5、動(dòng)方程為：,對(duì)于人造地球衛(wèi)星問(wèn)題， 為地球引力常數(shù)。,將 帶入方程(4.8)可得,(4.10),(4.11),(4.12),或,動(dòng)量矩守恒定理 設(shè) ，為 單位質(zhì)量相對(duì) 的動(dòng)量矩（或角動(dòng)量）。對(duì) 求導(dǎo)，則有,,,,,,,,,用式(4.12)消去 ，并考慮到 ， ，可以得到,,,(4.12),(4.13

6、),(4.14),上式表示m1相對(duì)m2的動(dòng)量矩是守恒的，包括它的方向和大小都是守恒的。 由于m1相對(duì)m2 的速度與 m2相對(duì)m1的速度大小相等方向相反，所以h 也表示 m2相對(duì)m1的單位質(zhì)量的動(dòng)量矩 （角動(dòng)量），統(tǒng)一稱為動(dòng)量矩（角動(dòng)量）。,(4.14),二體系統(tǒng)的動(dòng)能 和 的動(dòng)能之和為,(4.3) (4.4),(4.16),將式(4.3)和(4.4)對(duì)時(shí)

7、間求導(dǎo)后代入上式，經(jīng)整理得系統(tǒng)質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能的總和表達(dá)式為：,(4.15),二體系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)方程 下面分析兩個(gè)星體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，多體問(wèn)題只能用數(shù)值方法求得數(shù)值解，二體問(wèn)題可以得到解析解。,對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(4.12)作 的矢量積，可得,(4.12),（4.17）,（4.18）,積分上式后得,將 代入上式的右端，則,這里 是常矢量，這個(gè)積分稱為拉普拉斯積分，

8、 稱為拉普拉斯矢量。 在軌道平面內(nèi)，再由式（4.18）與標(biāo)量積，可得,式中 表示 與 之間的夾角，即 。,即 （4.19）,（4.18）,（4.20）,又 所以 即 （4.21）此式就是衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道方程。由解析幾何可知，這就是地心極坐標(biāo)系中的圓錐曲線方程。,換成解析幾何中常用的符號(hào)，即有

9、 （4.22）式中 ——半正焦弦； ——真近點(diǎn)角； ——衛(wèi)星矢徑與升交點(diǎn)方向的夾角； ——衛(wèi)星升交點(diǎn)矢徑與近地點(diǎn)矢徑夾角叫近地點(diǎn)角距。,,在二體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，如果 ，可以認(rèn)為重心 與 重合， 對(duì)于 的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，便成為繞中心引力場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，這正是人造空間飛行器通常所遇到的情

10、況。,二、中心引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),軌道形狀及分類(lèi) 中心引力場(chǎng)中軌道的形狀，滿足軌道運(yùn)動(dòng)的一般方程，即 （4.23）其中 是 和 的夾角 (也可以用 f 表示)， 。,,,軌道形狀由軌道偏心率e確定。e=0 圓形軌道 ；0<e<1 橢圓軌道；e=l 拋物線軌道；e＞l 雙曲線軌道。

11、 如圖4.2所示：,圖4.2 軌道形狀,圓軌道和橢圓軌道: 閉合軌道。人造衛(wèi)星軌道就是圓軌道或者是橢圓軌道。 拋物線軌道或雙曲線軌道: 非閉合軌道，脫離地球引力場(chǎng)飛行就要沿這種軌道飛行。 德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒于1609-1619年總結(jié)出天體運(yùn)動(dòng)的三大定律，開(kāi)普勒第一定律關(guān)于軌道形狀。 定義：物體在中心引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓、橢圓、拋物線或雙曲線等圓錐曲線，中心引力體位于上述曲線的（一個(gè)）焦點(diǎn)上。,系統(tǒng)的能量

12、 以 左側(cè)點(diǎn)乘中心引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的基本方程式， 有,,其中，,,因 ，積分上式得,其中 為積分常數(shù)。上式第一項(xiàng)為空間飛行器單位質(zhì)量的動(dòng)能，第二項(xiàng)為其單位質(zhì)量的勢(shì)能。式(4.25)表示空間飛行器在軌道任意點(diǎn)的動(dòng)能與勢(shì)能之和總為常數(shù)，即能量守恒。,(4.24),(4.25),速度矢量還可以寫(xiě)成分量形式，為此

13、先把 寫(xiě)成 ， 是矢徑 正向的單位矢量，如圖4.3所示：圖4.3 速度的分解,根據(jù)單位矢量對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的法則，有 ，其中 是 亦即 在慣性空間的角速度，其模為 ，它與 叉乘后的方向與 垂直，與在 運(yùn)動(dòng)平面指向前方的單位矢量 同向。,對(duì) 求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，有,式（4.26）自身點(diǎn)乘后代入式（4.25），則能量方程還可以表示為,(4.25),故,（4

14、.26）,式中， 和 分別是速度 在矢徑方向和其垂直方向的分量。,(4.27),由圖4.3和矢量叉乘的定義，寫(xiě)出角動(dòng)量 的模,(4.27),（4.26）,(4.28),(4.29),式（4.27）、（4.29）是中心引力場(chǎng)中能量守恒的另兩種表達(dá)形式。,代入（4.27），還有,如果把式(4.28)寫(xiě)成便可看出，右側(cè)分子表示空間飛行器在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑轉(zhuǎn)過(guò) 角時(shí)所掃出的扇形面積的2倍，如圖4.4所示。

15、圖4.4 矢徑掃過(guò)的面積,(4.28),設(shè)該面積為 ，則有,(4.30),由于動(dòng)量矩守恒，上式表明空間飛行器在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的扇形面積為常值，或者說(shuō)扇面速度為常值。這個(gè)結(jié)論適用于所有四種形狀的軌道，稱為開(kāi)普勒第二定律。,橢圓軌道的周期（開(kāi)普勒第三定律）,,對(duì)于橢圓軌道，由式(4.30)積分，可得到空間飛行器運(yùn)行一個(gè)周期 時(shí)，掃過(guò)的扇面積為軌道包含的橢圓面積，所以有,(4.30),式(4.31)又稱為開(kāi)普勒第三定律，

16、可見(jiàn)空間飛行器在橢圓軌道上運(yùn)行的周期只與軌道的半長(zhǎng)軸 有關(guān)。,(4.31),進(jìn)一步的推導(dǎo)可以得到,軌道要素（根數(shù)）及其幾何意義 確定衛(wèi)星空間位置的參數(shù)叫做軌道要素。軌道要素又稱軌道根數(shù)，它們確定軌道平面在空間的取向，軌道在軌道平面內(nèi)的取向，軌道的形狀和空間飛行器在軌道上的位置。軌道要素共有六個(gè)，分別為：,（1）確定軌道平面在空間位置的參數(shù) Ω---- 升交點(diǎn)赤經(jīng)，從春分點(diǎn)到升交點(diǎn)的角距。

17、 i ----- 軌道傾角，是軌道面與赤道面的夾角。 升交點(diǎn) 指當(dāng)衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面的夾角即軌道傾角不等于零時(shí)，軌道與赤道面有兩個(gè)交點(diǎn)，衛(wèi)星由南向北飛行時(shí)的交點(diǎn)稱為升交點(diǎn)。,（2）確定軌道在軌道面內(nèi)位置的參數(shù) ω---- 近地點(diǎn)角距，在軌道平面上，升交點(diǎn)和近地點(diǎn)矢徑的夾角。 近地點(diǎn) : 人造衛(wèi)星在圍繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)的軌道上距離地球最近的一點(diǎn)。,（3）確定軌道形狀及地點(diǎn)矢徑的夾