等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（講）-2019年高考數(shù)學(xué)（理）---精校解析講練測(cè) word版

1、<p>　　2019年高考數(shù)學(xué)講練測(cè)【新課標(biāo)版 】【講】 </p><p><b>　　【考綱解讀】</b></p><p><b>　　【知識(shí)清單】</b></p><p>　　一．等差數(shù)列的有關(guān)概念</p><p>　　1.定義：等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每

2、一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.</p><p>　　2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；</p><p>　　說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列.</p><p>　　3.等差中項(xiàng)的概念：</p><p>　　定

3、義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng),其中 .</p><p><b>　　，，成等差數(shù)列.</b></p><p>　　4.等差數(shù)列的前和的求和公式：.</p><p>　　5.要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”．如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．</p>

4、;<p>　　6.注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．</p><p><b>　　對(duì)點(diǎn)練習(xí)：</b></p><p>　　已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和, , 則等于 （ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p>

5、;<p><b>　　【答案】B</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：由題意，得，解得，所以，故選B．</p><p><b>　　等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)</b></p><p>　　1.等差數(shù)列的性質(zhì)：</p&g

6、t;<p>　?。?）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；</p><p>　?。?）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列， 如：，，，，……；，，，，……；</p><p>　?。?）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；</p><p>　　（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，時(shí)，則，是的等差中項(xiàng).</p>

7、;<p>　?。?）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列.</p><p>　　（6）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．</p><p>　?。?）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．</p><p>　　2．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①； ② ；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①(中間項(xiàng)

8、)；②.</p><p><b>　　3.,則,.</b></p><p>　　4.如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個(gè)原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．</p><p>　　5.若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則.</p><p>　　6．等差數(shù)列的增減性：時(shí)為

9、遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最小值．時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)前n項(xiàng)和有最大值．</p><p><b>　　對(duì)點(diǎn)練習(xí)：</b></p><p>　　1.在等差數(shù)列中，已知，則= （ ）</p><p>　　A．10 B．18 C．20 D．28</p><p><b>　　【

10、答案】C</b></p><p>　　2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則中最大的是（ ）</p><p>　　A． B． C． D． </p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】由,得,由知,,所以最大，故B正確.</p>

11、<p><b>　　【考點(diǎn)深度剖析】</b></p><p>　　等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式構(gòu)成等差數(shù)列的重要內(nèi)容，在歷屆高考中必考．經(jīng)常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．</p><p><b>　　【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】</b></p><p>　　考點(diǎn)1 等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、基本運(yùn)算</p>

12、;<p>　　【1-1】【2017全國(guó)卷1（理）】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公</p><p><b>　　差為（ ）.</b></p><p>　　A．1 B．2 C．4 D．8</p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>&l

13、t;b>　　【解析】，，</b></p><p>　　聯(lián)立求得，得，即，所以.故選C.</p><p>　　【1-2】【2017全國(guó)卷2（理））】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 ．</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　【1-3】【2018新課標(biāo)I】設(shè)為等差數(shù)列

14、的前項(xiàng)和，若，，則</p><p>　　A． B． C． D． </p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，</p><p>　　根據(jù)題中的條件可得，</p><p>　　整理解得，所以，故選B.</p>

15、<p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　1．等差數(shù)列的四種判斷方法</p><p>　　(1) 定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；</p><p>　　(2) 等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;</p><p>　　(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù),)? 是等差數(shù)列;<

16、;/p><p>　　(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù), )? 是等差數(shù)列;</p><p>　　(5)是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.</p><p>　　2．活用方程思想和化歸思想</p><p>　　在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求

17、二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算．</p><p>　　3.特殊設(shè)法:三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為.這對(duì)已知和,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便.</p><p>　　4．若判斷一個(gè)數(shù)列既不

18、是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用驗(yàn)證即可．</p><p>　　5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式</p><p>　　若已知首項(xiàng)和末項(xiàng)，則，或等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是，公差是，則其前項(xiàng)和公式為.</p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一】【四川省高2019屆高三第一次診斷性測(cè)試】已知等差數(shù)

19、列的公差為2，若成等比數(shù)列，則前10項(xiàng)的和為（ ）</p><p>　　A． 10 B． 8 C． 6 D． -8</p><p><b>　　【答案】A</b></p><p>　　【解析】由題意可得a32＝a1a4，即(a1+4)2＝a1(a1+6)，解之可得a1=-8，故 </p><p&

20、gt;<b>　　故選：A．</b></p><p>　　【變式二】【安徽省合肥市2018屆高三調(diào)研性檢測(cè)】數(shù)列滿足.</p><p>　?。á瘢┣笞C：數(shù)列是等差數(shù)列；</p><p>　?。á颍┤魯?shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.</p><p>　　【答案】（Ⅰ）證明見解析 （Ⅱ）</p><p>　

21、　解：（Ⅰ）若，則，這與矛盾，</p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　由已知得，</b></p><p><b>　　∴，</b></p><p>　　故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.</p><p>　?。á颍┯桑?/p>

22、Ⅰ）可知， ，</p><p><b>　　由可知.又</b></p><p><b>　　∴ ∴，</b></p><p><b>　　∴，</b></p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　

23、∴，</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　考點(diǎn)2 等差數(shù)列的性質(zhì)</p><p>　　【2-1】【河北省武邑中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)（理）】數(shù)列滿足 ，且， ，則（ ）</p><p>　　A. 9 B. 10 C. 11 D. 12<

24、;/p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【2-2】【云南省昆明一中2018屆高三第二次月考】在數(shù)列中， ， ，且</p><p>　?。ǎ?，則的值是（ ）</p><p>　　A. -10 B. 10 C. 50 D. 70</p><p><b

25、>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析】由得，即數(shù)列是等差數(shù)列，由，可得</p><p>　　，，所以，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，所以</p><p><b>　　，選C．</b></p><p>　　【2-3】【安徽省皖中名校聯(lián)盟2019屆高三10月聯(lián)考】已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，給

26、出以下結(jié)論：</p><p><b>　?、?；②；③；④．</b></p><p>　　其中一定正確的結(jié)論是（ ）</p><p>　　A． ①② B． ①③④ C． ①③ D． ①②④</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>

27、;<b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　1. 等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題．</p><p>　　2.等差數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應(yīng)用, 故應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系．

28、</p><p>　　3.應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式．</p><p>　　4.解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略.</p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一

29、】【河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬（三）】已知直線</p><p>　　與直線互相平行且距離為.等差數(shù)列的公差為，且</p><p><b>　　，令，則的值為</b></p><p>　　A． 60. B． 52 C． 44 D． 36</p><p><b>

30、　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】由兩直線平行得，由兩平行直線間距離公式得 </p><p>　　得或 ， 故選：B．</p><p>　　【變式二】【”超級(jí)全能生”2018屆高考全國(guó)卷26省聯(lián)考乙卷】已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，則的值是__________．</p><p><b

31、>　　【答案】</b></p><p>　　考點(diǎn)3 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列最值</p><p>　　【3-1】【福建省莆田第九中學(xué)2018屆高三高考模擬考】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且，.設(shè)，則當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時(shí),的值為（ ）</p><p>　　A． 23 B． 25 C． 23或24 D． 23或25&

32、lt;/p><p><b>　　【答案】D</b></p><p><b>　　【解析】，</b></p><p><b>　　等差數(shù)列的公差，</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　則，

33、且，</b></p><p><b>　　由，</b></p><p>　　知從到的值都大于零，時(shí)達(dá)到最大，</p><p>　　而與是絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，相加為零，</p><p><b>　　，之后越來越小，</b></p><p>　　所以數(shù)列的前項(xiàng)和取得

34、最大值時(shí),的值為，故選D.</p><p>　　【3-2】【河南省新鄉(xiāng)市2018屆高三第三次模擬測(cè)試】已知等差數(shù)列中，，，則（ ）</p><p>　　A． B． C． D． </p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【3-3】【江西省南昌市2017-2018學(xué)年

35、度高三第二輪復(fù)習(xí)測(cè)試】數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，其前和為，存在非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意有恒成立，則的值為__________．</p><p><b>　　【答案】或</b></p><p>　　【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)：</p><p>　　當(dāng)數(shù)列的公差時(shí)，即，</p><p><b>　　據(jù)此可得，則，<

36、;/b></p><p>　　當(dāng)數(shù)列的公差時(shí)，由題意有：，，</p><p><b>　　兩式作差可得：，</b></p><p>　　整理可得：，即：，①</p><p><b>　　則，②</b></p><p>　　②-①整理可得：恒成立，</p>

37、<p>　　由于，故，據(jù)此可得：，</p><p>　　綜上可得：的值為或.</p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，常用的方法：</p><p>　　1.利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．當(dāng)，時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；若已

38、知，則最值時(shí)的值（）則當(dāng)，，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最大值，(2)當(dāng)，時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最小值.</p><p>　　2.利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：(為常數(shù), )為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時(shí)利用數(shù)列的單調(diào)性（,遞增；，遞減）；</p><p>　　3. 利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法：求最大項(xiàng)的方法：設(shè)為最大項(xiàng)，則有；求最小項(xiàng)的方法：設(shè)為最小

39、項(xiàng)，則有.只需將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可.</p><p>　　4.在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.</p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一】【2018屆湖北省武漢市高三聯(lián)考】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則，，…，中最大的項(xiàng)為（ ）<

40、;/p><p>　　A. B. C. D.</p><p><b>　　【答案】C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p><b>　　試題分析：</b></p><p

41、><b>　　，</b></p><p><b>　　因此而，</b></p><p><b>　　所以，選C.</b></p><p>　　【變式二】【2018屆山西大學(xué)附中月考】設(shè)等差數(shù)列滿足， ，且有最小值，則這個(gè)最小值為__________．</p><p>&l

42、t;b>　　【答案】-12</b></p><p><b>　　三、易錯(cuò)試題常警惕</b></p><p>　　易錯(cuò)典例：在等差數(shù)列中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，有最大值，并求出它的最大值．</p><p>　　【錯(cuò)解一】　設(shè)公差為d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15

43、15;20＋d.得d＝－，an＝20－(n－1)·.</p><p>　　當(dāng)an＞0時(shí)，20－(n－1)·＞0，∴n＜13.∴n＝12時(shí)，Sn最大，S12＝12×20＋×＝130.</p><p>　　當(dāng)n＝12時(shí)，Sn有最大值S12＝130.</p><p>　　【錯(cuò)解二】　由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－，令&

44、lt;/p><p>　　由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12時(shí)，Sn有最大值S12＝130.</p><p>　　易錯(cuò)分析：　錯(cuò)解一中僅解不等式an＞0不能保證Sn最大，也可能an＋1＞0，應(yīng)有an≥0且an＋1≤0.</p><p>　　錯(cuò)解二中僅解an＋1≤0也不能保證Sn最大，也可能an≤0，應(yīng)保證an≥0才行．</p><p>　　

45、正確解析：　解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d.∴d＝－.</p><p>　　∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0.即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0，n≥14時(shí)，an＜0.</p><p>　　∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12＝S13＝12×20＋×＝130.</p>

46、;<p>　　解法二：同解法一，求得d＝－，∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n</p><p>　　＝－＋.∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.</p><p>　　解法三：同解法一，求得d＝－，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，</p><p>　　∴5a13＝0，即

47、a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均為正數(shù)．而a14及以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，</p><p>　　∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.</p><p>　　溫馨提醒：1.解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題時(shí)一般利用通項(xiàng)不等式組法，即①當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，Sn最大?；②當(dāng)a1＜0，d＞0時(shí)，Sn最小?.</p><p>　　2.

48、在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近而定．</p><p>　　3.等差數(shù)列的基本運(yùn)算中，容易出現(xiàn)的問題主要有兩個(gè)方面：一是忽視題中的條件限制，如公差與公比的符號(hào)、大小等，導(dǎo)致增解；二是不能靈活利用等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，導(dǎo)致列出的方程或方程組較為復(fù)雜，增大運(yùn)算量．</p><p>　　四、學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇</p>

49、<p>　　函數(shù)思想在數(shù)列求最值問題中的應(yīng)用</p><p>　　數(shù)列是特殊的函數(shù)關(guān)系，因此常利用函數(shù)的思想解決數(shù)列中最值問題</p><p>　　1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系</p><p>　　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為可變形為Sn＝n2＋n，令A(yù)＝，B＝a1－，則Sn＝An2＋Bn.</p><p>　　當(dāng)A≠0，即d≠

50、0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx的圖象上，為拋物線y＝Ax2＋Bx上一群孤立的點(diǎn)．利用此性質(zhì)可解決前n項(xiàng)和Sn的最值問題．</p><p>　　2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值</p><p>　　(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1>0，公差d<0，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，正數(shù)項(xiàng)有限，前n項(xiàng)和有最大值，且滿足</p><p>　　(2

51、)若等差數(shù)列的首項(xiàng)a1<0，公差d>0，則等差數(shù)列是遞增數(shù)列，負(fù)數(shù)項(xiàng)有限，前n項(xiàng)和有最小值，且滿足</p><p>　　3．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法</p><p>　　(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意n∈N*.</p><p>　　(2)圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確定n的值，使Sn取得最值．&

52、lt;/p><p>　　(3)項(xiàng)的符號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)n，使Sn取最大值；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)n，使Sn取最小值，即正項(xiàng)變負(fù)項(xiàng)處最大，負(fù)項(xiàng)變正項(xiàng)處最小，若有零項(xiàng)，則使Sn取最值的n有兩個(gè)．</p><p>　　【典例】【2018屆吉林省吉林市五十五中月考】已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且，.</p><p><b&

53、gt;　　（Ⅰ）求的通項(xiàng)；</b></p><p>　?。á颍┣笄皀項(xiàng)和的最大值．</p><p>　　【答案】（1）；（2）的最大值為4.</p><p><b>　　試題解析：（1），</b></p><p><b>　　所以；</b></p><p><