2014青島數(shù)學(xué)

1、<p>　　絕密★啟用并使用完畢前</p><p>　　2014年山東省青島市高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)考試</p><p><b>　　數(shù) 學(xué)（理科）</b></p><p><b>　　注意事項(xiàng)：</b></p><p>　　1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息</p>

2、<p>　　2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上</p><p>　　第I卷（選擇題，共50分）</p><p>　　一、選擇題（50分）（每小題5分，共10題）</p><p>　　1．若集合，則（ ）</p><p>　　A． B．或</p><p>　　C．

3、 D．</p><p>　　2．已知向量,,,則“”是“”的（ ）</p><p>　　A．充要條件 B．充分不必要條件</p><p>　　C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件</p><p>　　3．右圖是一容量為的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖

4、可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　4．雙曲線的漸近線方程為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　5．執(zhí)行右圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（ ）</p><p>

5、;　　A． B． C． D． </p><p>　　6．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程可以為（ ）</p><p>　　A． B． C． D． </p><p>　　7．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則弦長(zhǎng)（ ）</p><p>　　A．　　　 B．　　　C．　　　D．</p><

6、;p>　　8．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是（ ） </p><p>　　A． B． C． D．1</p><p>　　9．由曲線，直線所圍成封閉的平面圖形的面積為 （ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　10．在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)

7、算“”，對(duì)任意，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：</p><p><b>　?。?）對(duì)任意，； </b></p><p><b>　?。?）對(duì)任意，．</b></p><p>　　關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．</p><p>　　其中所有正確說

8、法的個(gè)數(shù)為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　第II卷（非選擇題，共100分）</p><p>　　二、填空題（每小題5分，共5題）</p><p>　　11．已知（），其中為虛數(shù)單位，則 . </p><p>　　12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分

9、布，若，為常數(shù),則 .</p><p>　　13．二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .</p><p>　　14．如圖所示是一個(gè)四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為 .</p><p>　　15．已知函數(shù) ，，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .</p><

10、p>　　三、解答題（共6個(gè)大題，16、17 、18、19題12分，20、21題13分）</p><p>　　16．在中, 分別是角的對(duì)邊，且.</p><p>　?。?）求的大小; （2）若，,求的面積.</p><p>　　17．年月“神舟 ”發(fā)射成功．這次發(fā)射過程共有四個(gè)值得關(guān)注的環(huán)節(jié)，即發(fā)射、實(shí)驗(yàn)、授課、返回．據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于時(shí)間關(guān)系，某班每位同學(xué)收看這四個(gè)

11、環(huán)節(jié)的直播的概率分別為、、、，并且各個(gè)環(huán)節(jié)的直播收看互不影響．</p><p>　　（1）現(xiàn)有該班甲、乙、丙三名同學(xué)，求這名同學(xué)至少有名同學(xué)收看發(fā)射直播的概率;</p><p>　　（2）若用表示該班某一位同學(xué)收看的環(huán)節(jié)數(shù),求的分布列與期望．</p><p>　　18．如圖幾何體中，四邊形為矩形，，，，，.</p><p>　　（1）若為的中

12、點(diǎn)，證明：面；</p><p>　?。?）求二面角的余弦值.</p><p>　　19．已知是等差數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為.令,的前項(xiàng)和.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，.</p><p>　　（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；</p><p><b>　?。?）證明：.</b></p><p>　　2

13、0．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，其一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，若拋物線與直線相切．</p><p>　?。?）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；</p><p>　　（2）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為．若點(diǎn)滿足：，其中是上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．</p><p>　　21．已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函

14、數(shù)，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．</p><p><b>　?。?）求的極值；</b></p><p>　　（2）若，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；</p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，求證：． </p><p><b>　　參考答案</b></p><p><b

15、>　　1．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p><b>　　試題分析：因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以.選.</b></p><p>　　考點(diǎn)：集合的運(yùn)算,簡(jiǎn)單不等式的解法.</p><p

16、><b>　　2．A</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析： 由已知，.若，則，成立；</p><p><b>　　若，則，</b></p><p>　　所以“”是“”的充要條件，選.</p><p>

17、　　考點(diǎn)：平面向量的平行，充要條件.</p><p><b>　　3．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于縱軸的直線橫坐標(biāo).</p><p>　　設(shè)中位數(shù)為，則將頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分

18、，則有，所以=.</p><p>　　考點(diǎn)：頻率分布直方圖，中位數(shù).</p><p><b>　　4．B</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：由得，所以漸近線方程為，故選.</p><p>　　考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).</

19、p><p><b>　　5．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：，滿足，執(zhí)行循環(huán)體；，</p><p><b>　　滿足； ，</b></p><p><b>　　滿足， ，</b>&

20、lt;/p><p><b>　　滿足， ，</b></p><p>　　不滿足，退出循環(huán)，輸出．</p><p><b>　　故選.</b></p><p>　　考點(diǎn)：算法與程序框圖</p><p><b>　　6．D</b></p><

21、p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：化簡(jiǎn)，可得，函數(shù)的對(duì)稱軸為即，當(dāng)時(shí)，，</p><p><b>　　故選.</b></p><p>　　考點(diǎn)：三角函數(shù)的倍半公式，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).</p><p><b>　　7．A </b></

22、p><p><b>　　【解析】</b></p><p><b>　　試題分析：如圖所示</b></p><p><b>　　∵分別為圓的切線，</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∵，

23、，∴，</b></p><p><b>　　又∵，在中，，</b></p><p><b>　　∴，∴.</b></p><p><b>　　故選．</b></p><p>　　考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理</p><p><b&

24、gt;　　8．D</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：畫出可行域，如圖所示. </p><p>　　表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，</p><p>　　觀察圖形可知的斜率最小為，故選.</p><p>　　考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，直

25、線的斜率計(jì)算公式.</p><p><b>　　9．B</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：如圖所示，由曲線與直線的交點(diǎn)為.方法一：則封閉的平面圖形的面積為.</p><p><b>　　方法二：.</b></p>

26、<p>　　考點(diǎn)：定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用</p><p><b>　　10．C</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：由題意可知.</p><p>　　所以由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，知①正確；</p><p>　　由故是偶

27、函數(shù)，知②正確；</p><p>　　由，則即，故，③不正確.</p><p><b>　　綜上知選.</b></p><p>　　考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，基本不等式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，新定義問題.</p><p><b>　　11． </b></p><p><b

28、>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：因?yàn)樗?由復(fù)數(shù)相等的充要條件得，，</p><p><b>　　故．</b></p><p>　　考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件.</p><p><b>　　12． </b></p><p>

29、;<b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：由正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，因，故，</p><p><b>　　所以，答案為.</b></p><p><b>　　考點(diǎn)：正態(tài)分布</b></p><p><b>　　13．</b></p&g

30、t;<p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：的展開式的通項(xiàng)，</p><p><b>　　令可得，</b></p><p><b>　　則常數(shù)項(xiàng)為.</b></p><p>　　考點(diǎn)：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式</p><

31、;p><b>　　14．</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：觀察三視圖可知，該四棱錐底面為直角梯形，有一側(cè)面垂直于底面，幾何體高為，幾何體體積為,故答案為．</p><p>　　考點(diǎn)：三視圖，幾何體的體積.</p><p><b>　

32、　15．或</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：對(duì)任意的，都有成立，即.觀察的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)；</p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p><b>　　所以</b></p><

33、p><b>　　所以，，解得或，</b></p><p><b>　　故答案為或．</b></p><p>　　考點(diǎn)：分段函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì).</p><p>　　16．（1）；（2）.</p><p><b>　　【解析】</b></p>&l

34、t;p>　　試題分析：（1）由可變形得到，</p><p>　　，即，根據(jù)即得所求.</p><p>　?。?）分析已知條件，注意應(yīng)用余弦定理得到，求得.</p><p>　　解得本題，巧妙地利用“整體觀”，簡(jiǎn)化了解題過程.</p><p>　　試題解析：（1）由得：</p><p><b>　　2分&

35、lt;/b></p><p>　　， 4分</p><p><b>　　，又</b></p><p><b>　　6分</b></p><p>　?。?）由余弦定理得：</p><p>　　，

36、 8分</p><p>　　又，， 10分</p><p><b>　　12分</b></p><p>　　考點(diǎn)：同角公式，兩角和的三角函數(shù)，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式.</p><p><b>　　17．（1）.</b></p>&

37、lt;p><b>　?。?）的分布列</b></p><p><b>　　的期望.</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：（1）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式；</p><p>　?。?）注意到可能取值為.利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概

38、率計(jì)算公式分別計(jì)算</p><p>　　即得的分布列，進(jìn)一步應(yīng)用期望的計(jì)算公式，即得所求.</p><p>　　解答本題，關(guān)鍵是概率的計(jì)算過程，綜合應(yīng)用事件的互斥、獨(dú)立關(guān)系，避免各種情況的遺漏.</p><p>　　試題解析：（1）設(shè)“這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播”為事件,</p><p>　　則.

39、 4分</p><p>　　（2）由條件可知可能取值為.</p><p><b>　　即的分布列</b></p><p><b>　　10分</b></p><p>　　的期望. 12分</p><p>　　考點(diǎn)：獨(dú)立事件概率的計(jì)算，隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期

40、望.</p><p>　　18．（1）見解析；（2）.</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：（1）連接交于點(diǎn)，得知為的中點(diǎn)，連接</p><p>　　根據(jù)點(diǎn)為中點(diǎn)，利用三角形中位線定理，得出，進(jìn)一步得到</p><p><b>　　面.</b

41、></p><p>　?。?）首先探究幾何體中的線面、線線垂直關(guān)系，創(chuàng)造建立空間直角坐標(biāo)系的條件，應(yīng)用“向量法”，確定二面角的余弦值.</p><p>　　解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點(diǎn)所在，平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識(shí)的培養(yǎng)，能從“非規(guī)范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標(biāo)系的條件.</p><p>　　試題解析：（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，

42、連接</p><p>　　因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以為的中位線，</p><p>　　所以 2分</p><p><b>　　面，面，</b></p><p>　　所以面 4分</p><p>　　（2）取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，</p>

43、;<p><b>　　所以共面</b></p><p><b>　　作于，于，則且</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　和全等，</b></p><p><b>　　和全等，</b>

44、;</p><p><b>　　，為中點(diǎn)，</b></p><p><b>　　又，，面</b></p><p>　　，面 6分</p><p>　　以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，設(shè)，則，</p><p><

45、b>　　，</b></p><p><b>　　設(shè)面的法向量</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由，令</b></p><p><b>　　8分</b></p><p>&

46、lt;b>　　設(shè)面的法向量</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由，令</b></p><p><b>　　10分</b></p><p>　　設(shè)二面角的平面角為，</p><p>　　則

47、 12分</p><p>　　考點(diǎn)：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義，空間向量的應(yīng)用.</p><p>　　19．(1) ，；(2)見解析.</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：(1)首先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

48、進(jìn)一步確定等比數(shù)列的公比，求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.</p><p>　　(2)求得，將不等式加以轉(zhuǎn)化成，</p><p>　　即證：.注意到這是與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題，故考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.</p><p>　　很明顯時(shí)，，因此用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.</p><p>　　試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?lt;/p>

49、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　解得，所以 4分</p><p><b>　　所以，</b></p

50、><p>　　所以 6分</p><p><b>　　(2)由(1)知，</b></p><p><b>　　要證，</b></p><p><b>　　只需證</b></p><p>　　即證：

51、 8分</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，</p><p>　　（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左右，不等式成立 </p><p><b>　?。?）假設(shè)，</b></p><p

52、><b>　　則時(shí)，</b></p><p><b>　　時(shí)不等式成立</b></p><p>　　根據(jù)（1）（2）可知：當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　綜上可知：對(duì)于成立</b></p><p>　　所以 12分</

53、p><p>　　考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，數(shù)學(xué)歸納法.</p><p><b>　　20．（1）</b></p><p>　?。?）存在兩個(gè)定點(diǎn)，且為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，使得為定值，其坐標(biāo)為．</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試

54、題分析：（1）根據(jù)拋物線與直線相切，聯(lián)立方程組并化簡(jiǎn)， 利用，求得的值，進(jìn)一步可得；</p><p>　　應(yīng)用離心率求，得解.</p><p>　?。?）設(shè)，，，利用“代入法”求得的軌跡方程為：.</p><p>　　由及確定的坐標(biāo)關(guān)系，</p><p><b>　　導(dǎo)出，作出判斷.</b></p><

55、;p><b>　　試題解析：</b></p><p><b>　　（1）由，</b></p><p><b>　　拋物線與直線相切，</b></p><p><b>　　2分</b></p><p>　　拋物線的方程為：，其準(zhǔn)線方程為：，</p

56、><p><b>　　離心率， ，</b></p><p>　　故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分</p><p><b>　?。?）設(shè)，，</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)

57、時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡</p><p>　　的軌跡方程為： 7分</p><p><b>　　由得</b></p><p>　　設(shè)分別為直線，的斜率，由題設(shè)條件知</p><p>　　因此 9分</p><p><b>

58、　　因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，</b></p><p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　所以，從而可知：點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，</p><p>　　存在兩個(gè)定點(diǎn)，且為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，使得為定值，其坐標(biāo)為．

59、 13分</p><p>　　考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的線性運(yùn)算.</p><p>　　21．(1)當(dāng)時(shí)，沒有極值；</p><p>　　當(dāng)時(shí)，存在極大值，且當(dāng)時(shí)，.</p><p><b>　　(2).</b></p><p><b>　　(3)見

60、解析.</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　試題分析：(1) 首先確定函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)．為確定函數(shù)的極值，應(yīng)討論，的不同情況.</p><p>　　(2) 首先求出，將問題轉(zhuǎn)化成，使得成立，</p><p>　　引入，將問題可轉(zhuǎn)化為：</p><

61、p>　　利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，得解.</p><p>　　(3)當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，即，</p><p>　　應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，得到.</p><p>　　方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵.</p><p>　　試題解析：(1) 函數(shù)的定義域?yàn)?，?lt;/p><p>　　當(dāng)時(shí)

62、，，在上為增函數(shù)，沒有極值； 1分</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，</b></p><p><b>　　若時(shí)，；若時(shí)，</b></p><p>　　存在極大值，且當(dāng)時(shí)，</p><p>　　綜上可知：當(dāng)時(shí)，沒有極值；當(dāng)時(shí)，存在極大值，且當(dāng)時(shí)，

63、 4分</p><p>　　(2) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，</p><p>　　，， 5分</p><p><b>　　，使得不等式成立，</b></p><p><b>　　，使得成立，</b></p><p>　　令，則問題可轉(zhuǎn)化為：</p>

64、;<p><b>　　對(duì)于，，由于，</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，，，</b></p><p>　　，從而在上為減函數(shù)，</p><p><b>　　9分</b></p><p>　　(3)當(dāng)時(shí)，，令，則，</p><p>

65、<b>　　，且在上為增函數(shù)</b></p><p><b>　　設(shè)的根為，則，即</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　由于在上為增函數(shù)，</b>&