5-幾何結(jié)晶學-1

1、第三章 幾何結(jié)晶學基礎(chǔ),幾何結(jié)晶學是描述晶體宏觀及微觀對稱性的一門科學,它不僅是晶體學的基礎(chǔ),而且是整個材料科學的基礎(chǔ).3.1 晶體的測量與投影3.1.1 晶體外形對稱性及內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性(略),點陣與晶體 晶態(tài)是物質(zhì)存在的一種基本形式，盡管晶體種類多、性質(zhì)各異，但是所有晶體都具有以下共同特征：（1）確定的熔點；（2）能自發(fā)地形成規(guī)則的多面體外形；（3）各向異性，即在晶體中不同的方向上具有不同的物理性質(zhì)，

2、,x射線衍射法對大量晶體的研究結(jié)果充分表明：晶體的特性是由晶體結(jié)構(gòu)的周期性所決定的。 晶體結(jié)構(gòu)的周期性表現(xiàn)在一切晶體，無論其外形如何，它內(nèi)部的原子(或離子、分子)總是作有規(guī)則的排列，即按照一定的方式在空間作周期性的重復。 晶體結(jié)構(gòu)的周期性是晶體結(jié)構(gòu)最基本的特征，它決定了晶體的許多共同特性．根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)的周期性可給晶體定義如下： 凡是原子(或分子、離子)在空間按一定規(guī)律作周期性排列構(gòu)成的物質(zhì)

3、都叫做晶體。,為了便于集中討論和描述晶體內(nèi)部原子排列的周期性，可以先把晶體中按周期性重復的那一部分原子，抽象成一個幾何點來代替它，集中討論周期重復的方式。然后再考慮重復周期中所包含的具體內(nèi)容，即把原子、分子和離子安放上去，便可得到整個晶體結(jié)構(gòu)。 這就是說，關(guān)于晶體結(jié)構(gòu)的周期性的討論最簡便的方法是用幾何點來討論。 而這些由晶體中無限多個重復周期抽象出來的幾何點在三維空間按一定規(guī)律排列便構(gòu)成了點陣。,點陣的定

4、義：點陣是在空間任何方向上均為周期排布的無限個全同點的集合。按連接點陣中任意兩點的矢量tuvw = ua + vb + wc （a，b，c為空間的三個非共面基矢、u，v，w為整數(shù)），對點陣進行整體平移后，新點陣和原點陣不可分辨。,點陣的性質(zhì)： 根據(jù)點陣的定義容易推出它的兩條基本性質(zhì)(1)點陣是由無限多個周圍環(huán)境完全相同的等同點組成； (2)從點陣中任意一個點陣點出發(fā)，按連接其中任意兩個點陣點的矢量進行平移，當矢

5、量的一端落在任意一個點陣點時，矢量的另一端必定也落在點陣中的另一個點陣點上．換句話說，可以把點陣看作是一種無限的圖形，當按連接其中任意兩個點陣點所得矢量將整個點陣平移時，整個點陣圖形必能復原。 點陣的這兩條基本性質(zhì)也正是判斷一組點是否為點陣的依據(jù)。,直線點陣、平面點陣與空間點陣 (1)直線點陣(一維點陣) 分布在同一直線上的點陣稱為直線點陣(一維點陣)．設(shè)在直線點陣中連接相鄰兩個點陣點的矢量為a，由于點

6、陣是一組無限的周圍情況完全相同的點列，該直線點陣通過矢量a進行平移，即每一個點陣點都移動了一個向量a，則每個點陣點都與它相鄰的一個點陣點重合，也就是說整個點陣復原了．同理，直線點陣在按矢量ma (m＝o，+l，+2， ……)平移后都能將點陣復原。,能使一個點陣復原的全部平移矢量組成的一個平移群(它符合數(shù)學上群的定義)稱為點陣對應(yīng)的平移群。 與直線點陣對應(yīng)的平移群為： Tm= ma (m＝o，+l，+2，……)其中

7、a稱為直線點陣的基本向量或素向量。,若點陣分布在同一個平面上就稱為平面點陣或二維點陣。 只包含一個陣點的格子叫素格子，規(guī)定平面點陣素格子的一套向量a和b稱為平面點陣的一套素向量。 與上述平面點陣對應(yīng)的平移群可用下式表示： Tmn＝ma十nb (m，n＝0， 土1， 土2， ．．．)其中a和b為平面點陣中兩個獨立而不平行的基本向量,三維點陣分布在三維空間的點陣叫空間點陣。

8、整個空間點陣可按其不相平行的任意三個單位素向量a，b，c分成無數(shù)并置的平行六面體單位。空間點陣按確定的平行六面體單位劃分后所形成的格子稱為空間格子。,點陣中每個點陣點都位于平行六面體格子的頂點處。每個平行六面體有八個頂點，而每個頂點上的點陣點被八個這樣的平行六面體格子單位所共用。因此，每個平行六面體格子單位只分攤到8x(1／8)=1個點陣點，稱為空間點陣的素單位． 空間點陣素單位的一套素向量a、b、c也稱為該點陣的一套素向量。

9、 事實上，將空間點陣按素單位劃分的可能性也是很多的．為了一定的目的，有時也將空間點陣按復單位劃分。在復單位中．有些點陣點可處在體心或面心位置上。與上述空間點陣對應(yīng)的平移群可用下式表示： Tmnp=ma + nb + pc (m,n,p=0,+1.+2．．．),平面點陣的性質(zhì) (1)平面點陣必可分解為一組平行的、周期和間距相等的直線點陣。 設(shè)在一平面點陣中任取一點0，而A為與0相鄰一點，則向量a＝0

10、A的直線必貫穿上述平面點陣中一個周期為a的直線點陣，將向量a作用于平面點陣的每一點上，則這個平面點陣便分解為一組平行的、周期和間距相等的直線點陣。,又設(shè)與0A不共線并與0鄰近的另一點為B，則向量b＝OB的直線也必貫穿上述平面點陣一個周期為b的直線點陣。再將向量b作用于平面點陣的每一個點上，則將平面點陣劃分為無數(shù)并置的平行四邊形。因為每個平行四邊形單位都是由向量a和b構(gòu)成的，它們都是全等的，所以每一個平行四邊形相應(yīng)邊上的高也相等，即平面點

11、陣可分解為一組平行的直線點陣，間距相等，周期也相等。,,(2) 從平面點陣中必可取出一個平行四邊形的素單位來。 因為A和B都是與0最鄰近的點，所以a、b都是素向量，而由a和b所決定的平行四邊形單位必為素單位。在這個平行四邊形內(nèi)不可能再有點陣點，即此平行四邊形必是不帶心的，所以是素單位。,(3)不論素單位取法如何，平行四邊形素單位的面積恒不變． 因為不論取法如何，平行四邊形素單位只包括一個點陣點，而平面點陣中點

12、陣點的密度是到處都一樣的，因此每個點陣點分攤到的面積都相等，所以不論素單位取法如何，其點陣單位的面積不變。,(4)直線點陣的間距越大，則直線點陣的周期越短。 因為平行四邊形素單位面積都相等，平行的直線點陣素單位向量的長度又相等，所以直線點陣的間距越大，直線點陣的周期越短．,空間點陣的性質(zhì) (1)空間點陣必可分解為一組平行的、素單位面積和間距相等的平面點陣 （2）空間點陣必可取出一平行六面體的素單位來 （3）不

13、論取法如何，素單位體積恒不變 （4）平面點陣組中平面點陣間距越大，則平面點陣的素單位面積越小。,晶體的點陣結(jié)構(gòu) 一般的點陣結(jié)構(gòu)任何經(jīng)平移能復原的幾何圖形均叫點陣結(jié)構(gòu)。分布在直線上稱為直線點陣結(jié)構(gòu)；分布在一個平面上稱為平面點陣結(jié)構(gòu)；分布在空間上稱為空間點陣結(jié)構(gòu)。點陣結(jié)構(gòu)中被平移重復的具體內(nèi)容稱為該點陣結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)基元。,點陣結(jié)構(gòu)與點陣有相互對應(yīng)的關(guān)系。只要在點陣結(jié)構(gòu)中從每個等同部分(即結(jié)構(gòu)基元)中抽取出一個

14、相當?shù)膸缀吸c，即得點陣。 反之在點陣中的結(jié)點上放置結(jié)構(gòu)基元即產(chǎn)生點陣結(jié)構(gòu)．可以說 點陣結(jié)構(gòu)＝點陣十結(jié)構(gòu)基元 與點陣一樣，點陣結(jié)構(gòu)的特點是具有周期性．,晶體的點陣結(jié)構(gòu)： 絕大多數(shù)晶體都是空間點陣結(jié)構(gòu)． 用點陣結(jié)構(gòu)的概念可以給晶體下一個更為確切的定義：即凡原子、分子、離子按點陣結(jié)構(gòu)作周期性地排列而成的物質(zhì)都叫晶體。 晶體與非晶體的根本區(qū)別在于晶體具有空間點陣式的周期性結(jié)

15、構(gòu)，而非晶體不具有空間點陣式的結(jié)構(gòu)，沒有周期性。 晶體的最大特點就是其空間點陣結(jié)構(gòu)(它決定了晶體的許多共同的基本特征)，而點陣結(jié)構(gòu)的最大特點則是它的周期性。,空間點陣是從晶體內(nèi)部的周期性結(jié)構(gòu)中抽象出來的，它反映了晶體中原子(分子、離子)排列的周期性規(guī)律，反映了晶體結(jié)構(gòu)的本質(zhì)． 但是還應(yīng)該指出，一切實際晶體的結(jié)構(gòu)只是近似的空間點陣結(jié)構(gòu)。 這是由于晶體有一定的大小，不可能是無限大的：晶體中還會存在各種偏離點

16、陣結(jié)構(gòu)的缺陷；晶體中的原子并非固定不動而是不斷地在其平衡位置附近作熱振動等等，所以實際晶體的結(jié)構(gòu)都不是完整的點陣結(jié)構(gòu)．,與一般的點陣結(jié)構(gòu)相比，晶體的點陣結(jié)構(gòu)中每一個點陣點所代表的具體內(nèi)容，同樣，仍稱為晶體的結(jié)構(gòu)基元：不同之處在于構(gòu)成晶體的結(jié)構(gòu)基元只能是原子、分子或離子以及它們的某種組合?？梢院唵蔚乇硎救缦拢?晶體結(jié)構(gòu)＝點陣十晶體的結(jié)構(gòu)基元,單晶體與多晶體 單晶體是基本上具有一個完整的周期性結(jié)構(gòu)的晶體，一整塊晶體基

17、本上由同一個空間點陣貫穿的晶體。 多晶體則是由許多雜亂無章的單晶體聚集而成的晶塊．金屬及許多固體粉末都是多晶體． 有些固體，如碳黑，結(jié)構(gòu)的周期性范圍很小，只有幾十個周期，它是介于晶體和非晶體之間的物質(zhì)，稱為微晶。,晶 胞 按照晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性，劃分出一個個大小和形狀完全相同的平行六面體，以代表晶體結(jié)構(gòu)的基本重復單位，叫做晶胞。 由于晶體結(jié)構(gòu)具有周期性的特點，整個晶體可以看成

18、是由晶胞在三維空間周期性地重復排列堆砌而成的。 晶胞是晶體結(jié)構(gòu)的重復單位，它對整個晶體結(jié)構(gòu)來說，具有充分的代表性。 因此研究晶體結(jié)構(gòu)只需要取一個晶胞來討論就行了。 晶胞有兩個基本要素：一個是晶胞的大小和形狀，另一個是晶胞內(nèi)各個原子的分布。如果知道了晶胞的兩要素，則對整個晶體結(jié)構(gòu)就了解了。,晶胞的形狀一定是平行六面體，而平行六面體的劃分方法可以有許多方式，但在實際確定晶胞時，總是按一定的原則

19、進行的： 一是盡可能取對稱性高的單位， 二是在對稱性相同的情況下盡可能選取小的單位。 晶胞的大小和形狀由晶體空間點陣中三個不平行的單位向量a、b、c所規(guī)定，其大小和形狀用晶胞參數(shù)表示，即用晶胞的三個邊的長度和三個邊之間的夾角表示。,群論基礎(chǔ)定義1: 在元素的集合G上定義一種結(jié)合法(稱為乘法), 若G對于給定的乘法滿足下述四條公設(shè),則集合G稱為一個群：1.滿足封閉性. G中任何兩個(不同的

20、或相同的)元素a和b,它們的乘積ab仍是G中的元素.2.結(jié)合律成立. G中任意元素a,b,c,有(ab)c=a(bc).3.單位元e 存在. 對于G中任何元素,有ea=ae=a.單位元也稱為恒等元,也記為1.4.逆元素存在. 對于G中每一個元素a，都有G中的一個元素b =a-1,稱為a的逆元,使得ab=ba =e.,定義2: 有限群中互不相同的元素的個數(shù)稱為該群的階 定義3: 如果群的子集H對于G的乘法也構(gòu)成一個群，則H稱

21、為G的子群，G稱為H的母群. 定義4: 若群G中的乘法滿足交換律, 即對G中任意兩個元素, 總有ab=ba, 則稱群G為交換群或阿貝爾群定義5: 對稱操作的集合構(gòu)成的群稱為對稱操作群,簡稱對稱群,定義6: 如果群G的每一元素都是某一固定元素a的冪ak(k是整數(shù)),則G為循環(huán)群,a為G的生成元.滿足an=1的最小正整數(shù)n稱為a的周期或a的階。定義7:如果n階群G (不一定是循環(huán)群)的每個元素都可表示為g1，g2,…,gm(m&l

22、t;=n)的霖的乘積,則稱這m個群元素為群G的生成元. 定義8:設(shè)g為群G (不一定是循環(huán)群)的一個元素,滿足gm=e的最小正整數(shù)m稱為g的階.Gl={g1,g2,...,gm}構(gòu)成G的一個循環(huán)子群.若滿足gm=e的m不存在,則稱g的階為無限.由此可見,群元素g的階即以g為生成元的循環(huán)子群的階.,定理1：有限群G的所有元素的階都是有限的. 定理 2(重排定理)：n階有限群G ={gl,g2...,gn}中,gi是G中任一元素,則G

23、的每一元素gj在giG={gigl,gig2,...,gign}中出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次;G的每一元素gj在Ggi={glgi,g2gi,...,gngj}中出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次. 重排定理保證了群G乘法表的每一行（列）的元素的集合都是G本身，并且沒有重復的元素，因為giG，Ggi分別構(gòu)成乘法表的第i行，第i列,對稱操作是將某一客體變換為該客體自身的操作.這里所指的操作限于不改變客體(分子,晶體等)任意兩點間距離的運動或變換,即客體不

24、發(fā)生扭曲,壓縮等形變. 晶體學中的獨立操作只有三類:(1)旋轉(zhuǎn),(2)反映或反演,(3)平移(translation).對稱操作或者是上述操作之一,或者是上述操作的組合.,點對稱操作是客體所相關(guān)的空間中至少有一點不發(fā)生位移的對稱操作. 例如,反演過程中的面上的點均不發(fā)生位移.顯然,平移不是點對稱操作, 旋轉(zhuǎn)過程中的位于對稱軸上的點, 反映過程中位于對稱操作.,對稱要素是對稱操作據(jù)以進行的點, 線, 面

25、等幾何要素, 如旋轉(zhuǎn)對稱軸, 反映對稱面, 反演對稱中心等. 客體在點對稱操作過程中, 空間中有一些點不發(fā)生位移, 這些點的集合就構(gòu)成了客體的對稱要素.對稱要素可以完全屬于客體, 如三維點陣空間中的某一維點列構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)對稱軸; 也可以部分屬于客體, 如具有3重旋轉(zhuǎn)對稱性的一組客體的3重對稱軸;也可以是完全不屬于客體的局外幾何要素, 如一個球面的對稱中心.,點操作是空間中至少有一點不發(fā)生位移的操作. 無論客體是否具有對稱性,